机器学习数学基础例题[二]：矩阵各类分解

给定一个对称矩阵 A，谱分解将其表示为特征值 λ1, λ2, ..., λn 和相应的单位特征向量 v1, v2, ..., vn 的乘积形式，即A = v，其中 V 是由特征向量组成的正交矩阵，Λ 是由特征值构成的对角矩阵。

萝卜头的历险

961人浏览 · 2023-11-08 20:28:18

萝卜头的历险 · 2023-11-08 20:28:18 发布

1.请给出谱分解的概念及计算过程，并将矩阵A进行谱分解，同时用代码实现分解和结果展示。

1.谱分解是将一个对称矩阵（或厄米矩阵）表示为特征向量和对应的特征值的形式的分解。

谱分解定义

给定一个对称矩阵 A，谱分解将其表示为特征值 λ1, λ2, ..., λn 和相应的单位特征向量 v1, v2, ..., vn 的乘积形式，即 A = v $\Lambda$ $_{}$ $^{_V{T}}$

，其中 V 是由特征向量组成的正交矩阵，Λ 是由特征值构成的对角矩阵。

算法思想：

1.计算对称矩阵 A 的特征值和特征向量。

2.将特征值按从大到小的顺序排列，并将对应的特征向量按相同顺序排列成一个正交矩阵 Q。

3.构建对角矩阵 Λ，其中对角线上的元素是特征值。

算法伪码：

输入：对称矩阵 A

1.计算特征值和特征向量：eigenvalues, eigenvectors = 求解(A)

2.排序特征值和特征向量：idx = eigenvalues.argsort()[::-1], eigenvalues = eigenvalues[idx], eigenvectors = eigenvectors[:, idx]

3.构建对角矩阵：Lambda = 对角矩阵(eigenvalues)

4.输出：Lambda, eigenvectors

算法实现（Python代码）：

pythonCopy Code

import numpy as np

def spectral_decomposition(A):

# 计算特征值和特征向量

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# 排序特征值和特征向量

idx = eigenvalues.argsort()[::-1]

eigenvalues = eigenvalues[idx]

eigenvectors = eigenvectors[:, idx]

# 构建对角矩阵

Lambda = np.diag(eigenvalues)

return Lambda, eigenvectors

# 示例矩阵 A

A = np.array([[5, 1, 0],

[1, 3, 4],

[0, 4, 2]])

# 调用谱分解函数

Lambda, eigenvectors = spectral_decomposition(A)

# 输出结果

print("特征值：")

print(Lambda)

print("特征向量：")

print(eigenvectors)

2.请给出Cholesky 分解的概念及计算过程，并将矩阵A进行Cholesky 分解，同时用代码实现分解和结果展示。

2.Cholesky 分解是将一个对称正定矩阵表示为下三角矩阵 L 和其转置的乘积的形式的分解。

Cholesky 分解的定义：

给定一个对称正定矩阵 A，Cholesky 分解将其表示为下三角矩阵 L 和其转置的乘积的形式，即

A = L $L^{T}$

。

Cholesky 分解的算法思想：

Cholesky 分解的思想是通过一系列的计算步骤将对称正定矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和其转置的乘积。具体来说，算法从矩阵的第一行开始，逐行计算并填充下三角矩阵 L 的元素，直到得到完整的下三角矩阵 L。

Cholesky 分解的算法伪码：

输入：对称正定矩阵 A

初始化 L 为零矩阵

对于每一行 i = 1 到 n：

对于每一列 j = 1 到 i：

如果 i = j：

计算 L[i][j] = sqrt(A[i][i] - sum(L[i][k]^2 for k = 1 to j-1))

否则：

计算 L[i][j] = (A[i][j] - sum(L[i][k]*L[j][k] for k = 1 to j-1)) / L[j][j]

输出：下三角矩阵 L

Cholesky 分解的算法实现（Python代码）：

import numpy as np

def cholesky_decomposition(A):

n = A.shape[0]

L = np.zeros_like(A)

for i in range(n):

for j in range(i+1):

if i == j:

L[i][j] = np.sqrt(A[i][i] - np.sum(L[i][k] ** 2 for k in range(j)))

else:

L[i][j] = (A[i][j] - np.sum(L[i][k] * L[j][k] for k in range(j))) / L[j][j]

return L

# 示例矩阵 A

A = np.array([[4, -1, -1],

[-1, 4.25, 2.75],

[-1, 2.75, 3.5]])

# 调用 Cholesky 分解函数

L = cholesky_decomposition(A)

# 输出结果

print("下三角矩阵 L：")

print(L)

3.如何通过奇异值分解实现图像压缩、去噪？

奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。

其定义如下：

给定一个 m×n 的实数矩阵 A，SVD 将其表示为以下形式：
$A = U \sum V^{T}$

，其中 U 是一个 m×m 的正交矩阵，Σ 是一个 m×n 的对角矩阵，V 是一个 n×n 的正交矩阵。Σ 对角线上的元素称为奇异值，通常按照从大到小的顺序排列。

奇异值分解的算法思想如下：

对矩阵 A 计算 A^T × A 得到一个对称矩阵 B。

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 A^T × A 的奇异值，特征向量构成 V 矩阵。

对 A × A^T 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 A × A^T 的奇异值，特征向量构成 U 矩阵。

根据奇异值构建对角矩阵 Σ。

奇异值分解的伪码如下：

输入：m×n 矩阵 A

1.计算 A^T × A 得到矩阵 B。

2.对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

3.特征值的平方根即为 A^T × A 的奇异值，特征向量构成 V 矩阵。

4.计算 A × A^T 得到矩阵 C。

5.对 C 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

6.特征值的平方根即为 A × A^T 的奇异值，特征向量构成 U 矩阵。

7.根据奇异值构建对角矩阵 Σ。

输出：U、Σ、V

Python示例代码：

import numpy as np

def svd(A):

U, sigma, VT = np.linalg.svd(A)

return U, sigma, VT

# 示例用法

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

U, sigma, VT = svd(A)

print("U:")

print(U)

print("Sigma:")

print(sigma)

print("VT:")

print(VT)

4.什么是奇异值分解？请给出奇异值分解的几何解释。奇异值分解如何计算？

奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。

其定义如下：

给定一个 m×n 的实数矩阵 A，SVD 将其表示为以下形式： $A = U \sum V^{T}$

，其中 U 是一个 m×m 的正交矩阵，Σ 是一个 m×n 的对角矩阵，V 是一个 n×n 的正交矩阵。Σ 对角线上的元素称为奇异值，通常按照从大到小的顺序排列。

奇异值分解的算法思想如下：

对矩阵 A 计算 $A^{T} * A$ 得到一个对称矩阵 B。

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 $A^{T} * A$ 的奇异值，特征向量构成 V 矩阵。

对 $A * A^{T}$ 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 $A * A^{T}$ 的奇异值，特征向量构成 U 矩阵。

根据奇异值构建对角矩阵 Σ。

几何上，奇异值分解可以理解为对线性变换的分解。假设 A 是一个 m×n 的矩阵，A 将 n 维空间中的向量映射到 m 维空间中。那么 U 和 V 可以看作是两个正交变换矩阵，分别描述了输入空间和输出空间的旋转和缩放变换。Σ 是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，表示了输入空间中每个方向上的缩放因子。

奇异值分解的计算过程如下：

对矩阵 A 的转置乘以 A，得到一个对称半正定矩阵 B = $A^{T} * A$

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量构成了 U 矩阵。

对矩阵 A 乘以 A 的转置，得到一个对称半正定矩阵 C = $A * A^{T}$ .

对 C 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量构成了 V 矩阵。

对特征值按照大小进行排序，得到对角矩阵 Σ。

根据变换关系 $A = U \sum V^{T}$ ，得到奇异值分解的结果。

奇异值分解在数据压缩、图像处理、推荐系统等领域有广泛应用，它可以提取出矩阵的主要特征，并降低数据的维度，从而实现数据的降噪和信息提取。

奇异值分解的伪码如下：

输入：m×n 矩阵 A

1.计算 $A^{T} * A$ 得到矩阵 B。

2.对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

3.特征值的平方根即为 $A^{T} * A$ 的奇异值，特征向量构成 V 矩阵。

4.计算 $A * A^{T}$ 得到矩阵 C。

5.对 C 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

6.特征值的平方根即为 $A * A^{T}$ 的奇异值，特征向量构成 U 矩阵。

7.根据奇异值构建对角矩阵 Σ。

输出：U、Σ、V

简单的Python示例代码：

import numpy as np

def svd(A):

U, sigma, VT = np.linalg.svd(A)

return U, sigma, VT

# 示例用法

A = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

U, sigma, VT = svd(A)

print("U:")

print(U)

print("Sigma:")

print(sigma)

print("VT:")

print(VT)

5.什么是紧奇异值分解和截断奇异值分解？截断奇异值分解如何计算？

紧奇异值分解定义:

紧奇异值分解（Compact Singular Value Decomposition，简称CSVD）是奇异值分解的一种特殊形式，用于对矩阵进行低秩近似。它将一个矩阵分解为三个部分的乘积： $A \approx U \sum V^{T}$

，其中 A 是待分解的矩阵，U 和 V 是正交矩阵，Σ 是对角矩阵。

截断奇异值分解定义:

截断奇异值分解（Truncated Singular Value Decomposition，简称TSVD）是在紧奇异值分解的基础上进一步截断奇异值，以实现更高程度的降维。通过保留最大的 k 个奇异值，将矩阵 A 近似表示为 $A \approx U \sum V^{T}$ ，其中 U 和 V 是正交矩阵，Σ 是对角矩阵，只有前 k 个奇异值不为零，其余奇异值被截断为零。

截断奇异值分解的计算过程如下：

对矩阵 A 的转置乘以 A，得到一个对称半正定矩阵 B = $A^{T} * A$

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量构成了 U 矩阵。

对矩阵 A 乘以 A 的转置，得到一个对称半正定矩阵 C = $A * A^{T}$ 。

对 C 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量构成了 V 矩阵。

对特征值按照大小进行排序，得到对角矩阵 Σ。

选择前 k 个最大的奇异值，将其余奇异值截断为零，得到截断后的对角矩阵 Σ'。

根据变换关系 $A \approx U \sum V^{T}$ ，得到截断奇异值分解的结果。

通过截断奇异值，可以实现对矩阵的低秩近似，从而实现数据的降维和压缩。选择合适的截断参数 k 可以在保留较高的信息量的同时减少计算和存储的开销。

紧奇异值分解算法思想：

对于 m 行 n 列的矩阵 A，计算 $A * A^{T}$ 和 $A^{T} * A$ 的特征值和特征向量。

根据特征值的大小，将特征向量按照从大到小排列，得到 U 和 $V^{{T}}$ 。U 是 $A * A^{T}$

的特征向量构成的正交矩阵， $V^{{T}}$ 是 $A^{T} * A$ 的特征向量构成的正交矩阵的转置。

将特征值按照从大到小排列，得到 s，构建对角矩阵 Sigma。Sigma 是一个 m 行 n 列的对角矩阵，对角线上的元素是特征值的平方根。

设定一个截断参数 k，将 Sigma 的后面的 m-k 行和 n-k 列置零，得到截断后的对角矩阵 Sigma_k。

得到矩阵 A 的紧奇异值分解： $A \approx Uk \sum k VK^{T}$ 。

其中，Uk 是由 Sigma_k 的前 k 列构成的 m 行 k 列的正交矩阵，VK^{T}是由 Sigma_k 的前 k 行构成的 k 行 n 列的正交矩阵的转置。

截断奇异值分解的算法思想如下：

对于 m 行 n 列的矩阵 A，计算 $A * A^{T}$ 和 $A^{T} * A$ 的特征值和特征向量。

根据特征值的大小，将特征向量按照从大到小排列，得到 U 和 V^T。U 是 $A * A^{T}$

的特征向量构成的正交矩阵，V^T 是 $A^{T} * A$ 的特征向量构成的正交矩阵的转置。

将特征值按照从大到小排列，得到 s，构建对角矩阵 Sigma。Sigma 是一个 m 行 n 列的对角矩阵，对角线上的元素是特征值的平方根。

设定一个截断参数 k，保留 Sigma 的前 k 个对角线元素，其余元素置零，得到截断后的对角矩阵 Sigma_k。

得到矩阵 A 的截断奇异值分解： $A=V\Lambda V^{T}$

其中，U_k 是由 Sigma_k 的前 k 列构成的 m 行 k 列的正交矩阵，V_k^T 是由 Sigma_k 的前 k 行构成的 k 行 n 列的正交矩阵的转置

紧奇异值代码实现

import numpy as np

# SVD

def svd_decomposition(matrix):

U, s, Vt = np.linalg.svd(matrix)

return U, s, Vt

# 示例用法

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

U, s, Vt = svd_decomposition(matrix)

print("U:")

print(U)

print("s:")

print(s)

print("Vt:")

print(Vt)

截断奇异值代码实现

import numpy as np

# TSVD

def tsvd_decomposition(matrix, k):

U, s, Vt = np.linalg.svd(matrix)

Uk = U[:, :k]

sk = np.diag(s[:k])

Vtk = Vt[:k, :]

return Uk, sk, Vtk

# 示例用法

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

k = 2

Uk, sk, Vtk = tsvd_decomposition(matrix, k)

print("Uk:")

print(Uk)

print("sk:")

print(sk)

print("Vtk:")

print(Vtk)

6求矩阵A的奇异值分解，并用源码实现和展示结果。

其定义如下：

给定一个 m×n 的实数矩阵 A，SVD 将其表示为以下形式：A = UΣV^T，其中 U 是一个 m×m 的正交矩阵，Σ 是一个 m×n 的对角矩阵，V 是一个 n×n 的正交矩阵。Σ 对角线上的元素称为奇异值，通常按照从大到小的顺序排列。

奇异值分解的算法思想如下：

对矩阵 A 计算 $A^{T} * A$ 得到一个对称矩阵 B。

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 $A^{T} * A$ 的奇异值，特征向量构成 V 矩阵。

对 $A * A^{T}$ 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 $A * A^{T}$ 的奇异值，特征向量构成 U 矩阵。

根据奇异值构建对角矩阵 Σ。

奇异值分解的计算过程如下：

对矩阵 A 的转置乘以 A，得到一个对称半正定矩阵 B = $A^{T} * A$

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量构成了 U 矩阵。

对矩阵 A 乘以 A 的转置，得到一个对称半正定矩阵 C = $A * A^{T}$ 。

对 C 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量构成了 V 矩阵。

对特征值按照大小进行排序，得到对角矩阵 Σ。

根据变换关系 $A = U \sum V^{T}$ ，得到奇异值分解的结果。

奇异值分解的伪码如下：

输入：m×n 矩阵 A

计算 $A^{T} * A$ 得到矩阵 B。

对 B 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 $A^{T} * A$ 的奇异值，特征向量构成 V 矩阵。

计算 $A * A^{T}$ 得到矩阵 C。

对 C 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值的平方根即为 $A * A^{T}$ 的奇异值，特征向量构成 U 矩阵。

根据奇异值构建对角矩阵 Σ。

输出：U、Σ、V

示例代码如下

import numpy as np

# 定义一个四行三列的矩阵

matrix = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6],

[7, 8, 9],

[10, 11, 12]])

# 使用numpy的奇异值分解函数进行分解

U, s, Vt = np.linalg.svd(matrix)

# 构建对角矩阵

Sigma = np.zeros((matrix.shape[0], matrix.shape[1]))

Sigma[:matrix.shape[1], :matrix.shape[1]] = np.diag(s)

# 打印结果

print("U:")

print(U)

print("Sigma:")

print(Sigma)

print("V^T:")

print(Vt)

7.求矩阵A的奇异值分解，并用源码实现和展示结果。

定义：奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，其中包括一个左奇异向量矩阵、一个对角奇异值矩阵和一个右奇异向量矩阵。

思想：

对矩阵 A 的转置矩阵 $A^{T}$ 和矩阵 A 的乘积 $A^{T}$ @ A 进行特征值分解，得到特征向量矩阵 V 和特征值矩阵 Sigma^2。

对矩阵 A 的乘积 A @

伪代码：

输入：矩阵 A(m x n)，其中 m 是行数，n 是列数。

计算矩阵 A 的转置矩阵 AT。

计算矩阵 A 与其转置矩阵的乘积 C = A x $A^{T}$ 。

对矩阵 C 进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

将特征值按降序排列，得到矩阵 Σ。

取矩阵 Σ 的前 r 个特征值，构造对角矩阵 Σr。

取特征向量矩阵中与前 r 个特征值对应的特征向量，构造矩阵 U。

计算矩阵 V = $A^{T}$ x U x Σr⁻¹，其中 Σr⁻¹ 是 Σr 的逆矩阵。

输出矩阵 U、Σr 和 V。

奇异值分解的代码示例：

import numpy as np

# 定义矩阵 A

A = np.array([[3, 1],

[2, 1]])

# 奇异值分解

U, Sigma, VT = np.linalg.svd(A)

print("奇异值分解结果：")

print("U =")

print(U)

print("Sigma =")

print(np.diag(Sigma))

print("V^T =")

print(VT)

8.求矩阵A的紧奇异值分解，并用源码实现和展示结果。

8.紧奇异值分解（Compact Singular Value Decomposition，简称CSVD）是奇异值分解（SVD）的一种特殊形式，在紧奇异值分解中，左奇异向量矩阵和右奇异向量矩阵都是方阵，并且奇异值矩阵只包含非零奇异值。

CSVD 的计算过程如下：

对矩阵 A 进行奇异值分解，得到左奇异向量矩阵 U、奇异值矩阵 Sigma 和右奇异向量矩阵 $V^{T}$ 。

令 r 为 Sigma 矩阵中非零奇异值的个数，取 U 的前 r 列得到紧奇异向量矩阵 U_r，取 $V^{T}$ 的前 r 行得到紧奇异向量矩阵 $V-R^{T}$

，取 Sigma 的前 r 个非零奇异值得到紧奇异值矩阵 Sigma_r。

计算紧奇异值分解后的矩阵 A_r = U_r @ Sigma_r @ $V-R^{T}$ 。

算法伪码：

输入：矩阵A，降维维度k

输出：降维后的矩阵A'

对矩阵A进行奇异值分解得到A = UΣV^T。

令Σ'为Σ的前k个对角元素，构建对角矩阵。

令U'为U的前k列，V'为V的前k列。

计算A = UΣV^T。

返回A'作为输出结果。

紧奇异值分解的代码示例：

import numpy as np

# 定义矩阵 A

A = np.array([[1, 1, 1],

[0, 2, 0],

[1, 2, 1],

[0, 0, 1]])

# 奇异值分解

U, Sigma, VT = np.linalg.svd(A)

# 紧奇异值分解

r = np.count_nonzero(Sigma)

U_r = U[:, :r]

Sigma_r = np.diag(Sigma[:r])

VT_r = VT[:r, :]

A_r = U_r @ Sigma_r @ VT_r

print("紧奇异值分解结果：")

print("U_r =")

print(U_r)

print("Sigma_r =")

print(Sigma_r)

print("V_r^T =")

print(VT_r)

print("A_r =")

print(A_r)

9.求矩阵A的k=2的截断奇异值分解，并用源码实现和展示结果。

9.截断奇异值分解（Truncated Singular Value Decomposition，简称TSVD）是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，其中包括一个左奇异向量矩阵、一个对角奇异值矩阵和一个右奇异向量矩阵。在截断奇异值分解中，我们可以选择保留前 k 个最大的奇异值，将其余较小的奇异值置零。

TSVD 的计算过程如下：

对矩阵 A 进行奇异值分解，得到左奇异向量矩阵 U、奇异值矩阵 Sigma 和右奇异向量矩阵 $V^{T}$ 。

保留 Sigma 矩阵的前 k 个最大奇异值，将其余较小的奇异值置零，得到截断后的 Sigma_k 矩阵。

计算截断后的矩阵 A_k = U[:, :k] @ Sigma_k @ V^T[:k, :]。

下面是用 Python 实现矩阵 A 的 k=2 的截断奇异值分解的代码示例：

输入：矩阵A，截断奇异值分解参数k

输出：近似矩阵A_k

对A做奇异值分解：A = U * S * V'

取S的前k个非零奇异值，其余奇异值设为0，得到对角矩阵S_k

取U的前k列，得到矩阵U_k

取V的前k行，得到矩阵V_k

近似矩阵A_k = U_k * S_k * V_k'