基于梯度提升决策树的组合特征方法

梯度提升决策树

梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Trees）是一种集成学习方法，它通过逐步迭代地训练决策树模型来提高预测性能。该方法的原理可以分为两个主要部分：梯度提升和决策树。

梯度提升（Gradient Boosting）
梯度提升是一种迭代的优化过程，通过逐步优化模型的损失函数来提高模型的预测能力。它基于前一轮迭代的模型的预测结果和真实标签之间的残差（即差异），来训练下一轮迭代的模型。具体步骤如下：
a. 首先，使用一个初始的弱模型（如决策树）作为基础模型进行预测。
b. 计算基础模型的预测结果与真实标签之间的残差。
c. 使用这些残差作为目标值，训练下一个弱模型，以尝试减少这些残差。
d. 将当前模型的预测结果与新模型的预测结果相加，形成一个新的预测结果。
e. 重复步骤b-d，直到达到预先定义的迭代次数或损失函数收敛。

决策树（Decision Trees）
决策树是一种基本的机器学习模型，它通过一系列的决策规则对数据进行分类或回归。在梯度提升中，决策树被用作弱模型，也称为弱学习器。每一轮迭代中，都会训练一个新的决策树来捕捉之前模型预测的残差。决策树的生成过程如下：
a. 首先，选择一个特征和切分点，将数据集划分为两个子集。
b. 使用某种准则（如最小化基尼指数或最小化均方差）来确定最佳的特征和切分点。
c. 递归地重复步骤a-b，直到达到预定义的停止条件（如达到最大深度或节点中的样本数量小于某个阈值）。
d. 每个叶节点上的值为该叶节点中样本的平均值（对于回归问题）或多数类别（对于分类问题）。

梯度提升决策树通过反复迭代上述两个步骤，每一轮迭代都试图减少前一轮模型的残差，从而提高整体模型的预测性能。在每一轮迭代中，新的决策树被训练来捕捉前一轮模型预测的残差，然后将其加入到模型中，形成一个更强大的集成模型。

最终的模型是所有迭代过程中生成的决策树的加权和，其中每棵树的权重取决于其在迭代过程中的性能表现。在预测阶段，新样本通过依次经过所有决策树，并将它们的预测结果相加，得到最终的预测值。

这里举一个例子来说明梯度提升决策树的思想方法

假设任务为使用现有的训练数据集来拟合一个模型，使其具有根据房屋面积来预测房屋价格的能力。

给出训练数据如下：

房屋面积	价格（标签）
1000	550000
1500	650000
2000	720000
2500	820000
3000	900000

在初始阶段，首先选定一个基本的弱模型，这里选择决策树模型作为基础模型。然后使用上述5组数据的价格平均数作为初始的模型预测值，那么初始的预测值如下表所示：

房屋面积（特征）	价格（标签）	初始预测价格
1000	550000	704000
1500	650000	704000
2000	720000	704000
2500	820000	704000
3000	900000	704000

然后，使用当前模型的预测结果与真实标签之间的残差，即实际价格和预测价格之间的差值。然后，这些残差将成为下一轮模型迭代的目标值。

房屋面积（特征）	价格（标签）	初始预测价格	残差
1000	550000	704000	-154000
1500	650000	704000	-54000
2000	720000	704000	16000
2500	820000	704000	116000
3000	900000	704000	196000

接着，使用上述表格中的残差作为目标值，训练一个新的决策树来捕捉这些残差的模式。新的决策树将尝试减少上一轮模型的残差。

当新的决策树训练完成之后，可以将其预测结果与之前的预测结果相加，得到一个新的预测结果如下表所示。

房屋面积（特征）	价格（标签）	初始预测价格	残差	新预测价格
1000	550000	704000	-154000	550000
1500	650000	704000	-54000	596000
2000	720000	704000	16000	720000
2500	820000	704000	116000	820000
3000	900000	704000	196000	900000

然后，继续计算新预测价格与真实标签之间的残差，再次作为目标值。

房屋面积（特征）	价格（标签）	初始预测价格	残差	新预测价格	新残差
1000	550000	704000	-154000	550000	0
1500	650000	704000	-54000	596000	54000
2000	720000	704000	16000	720000	0
2500	820000	704000	116000	820000	0
3000	900000	704000	196000	900000	0

然后进行下一轮的迭代，训练另外一个决策树来捕捉新残差的模式，并将其预测结果与之前的预测结果相加。

不断重复上述过程，每一轮迭代都试图减少前一轮模型的残差，直到达到预先定义的迭代次数或损失函数收敛。

最终得到的模型为所有迭代中生成的决策树模型的加权和，其中每棵树的权重取决于其在迭代过程中的性能表现。

为了更好地说明如何使用梯度提升决策树来实现对特征的组合，再举一个例子

假设任务为使用模型来预测一个人的年龄，训练集有A B C D四个人，他们的年龄分别为14、16、24、26，其每个人的特征包含：月购物金额、上网时长、上网历史等。那么，从头开始训练一个决策树如下：

首先，使用购物金额来得到第一棵树，求得每个样本预测值与真实值之间的残差；

然后，使用得到的残差作为目标值，来训练另外一棵树使得残差尽可能的收敛到某个阈值以下，或者树的总数达到某个上限为止。

由于在上述构建GBDT的过程是利用残差训练的，在预测过程中，需要将所有数的预测值加起来，得到最终的预测结果。

假设对于某种类型的输入，经过上述介绍的梯度提升决策树构建流程得到的模型如下图所示

上图引自《百面机器学习》，图中为典型决策树。其中，共有四种特征组合方式：
（1）用户类型=付费用户+年龄$\le$ 40；
（2）用户类型=付费用户+物品类型=食品；
（3）年龄$\le$ 35+物品类型=护肤；
（4）年龄$\le$ 35+性别=女；

现在给出两个样本，分别如下：

是否点击	年龄	性别	用户类型	物品类型
是	28	女	免费	护肤
否	36	男	付费	食品

那么按照上述四种特征组合方式来说，上表中第一个样本可以编码为（0,0,1,1），因为该样本只满足（3）（4）组合特征，但并不满足（1）（2）组合特征；同理，对于上表中的第二个样本可以编码为（1,1,0,0），因为该样本同时满足（1）（2）组合特征，但不满足（3）（4）组合特征。