〇、前情提要

降维相关的知识点，特别是涉及PCA和SVD时，都会遇到求特征值和特征向量的计算，回忆计算过程。
参考：
1.【机器学习 必备数学基础】PCA降维/SVD奇异值分解中线性代数知识: 如何求解n阶方阵的特征值和特征向量？
https://www.bilibili.com/video/BV1kE411371s?from=search&seid=5629878461143195813

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P1 01-特征值和特征向量的定义

笔记

定理

设A=(aij) n阶方阵，若有数λ和非零列向量X，满足AX=λX，则λ为A的一个特征值，X为A的属于λ的一个特征向量。
AX=λX
AX-λX=0
(A-λE)X=0 关于X的齐次线性方程组
|A-λE|=0 系数行列式为零 求解基础

最终求得λ特征值和X的特征向量

齐次线性方程组

不带常数项
有非零解 系数行列式一定为零

n阶方阵

n阶方阵有n个特征值

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P2 02-齐次线性方程组

笔记

概念

无b（常数项）

矩阵形式

与上面的代数形式含义相同
D为系数矩阵 左边

定理

有非零解 则系数行列式一定为零|D|=0
与|A-λE|=0 相同

(A-λE)X=0
X为非零解，则只能是系数的行列式为0。

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P3 03-代数余子式求和

笔记

余子式

Dn= |a11 a12 …… a1n|
|a21 a22 …… a2n|
|a31 a32 …… a3n|
|…… …… …… …… |
|an1 an2 …… ann|
任意一个元素aij，划去aij所在的第i行第j列，剩下n-1阶行列式 即余子式

余子式例子

a22 划去第2行第2列

a33划去第3行第3列

代数余子式

记余子式为Mij
代数余子式为Aij=(-1)^(i+j)*Mij

代数余子式例子

要考虑正负号
A22=(-1)^4M22=M22
A41=(-1)^5M41=-M41

应用

按行（列）展开，求得行列式的值

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P4 04-3阶行列式计算公式

笔记

3阶行列式计算公式

帮助

工作中不会用到
比初等变换更容易

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P5 05-求解特征值和特征向量-例题1

笔记

题目

求A的特征值和特征向量

公式

|A-λE|=0

使用第二行

特征值

特征向量①λ1=λ2=2时

①λ1=λ2=2时

秩 r=1
n-r=3-1=2 有两个基础解

三个未知数 一个方程式 -> 两个自由度
凑特征向量

特征向量②λ3=-1时

②λ3=-1时

秩 r=2
n-r=3-2=1 有一个基础解
凑特征向量

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P6 06-求解特征值和特征向量-例题2

笔记

题目

公式（三阶行列式）

特征向量①λ1=λ2=时

秩r=2
n-r=3-2=1

特征向量②λ3=2时

秩r=2
n-r=3-2=1

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