车辆运动学模型分析

阿克曼转向模型的一些分析。

Ember_cv

3116人浏览 · 2023-10-26 21:22:34

Ember_cv · 2023-10-26 21:22:34 发布

1. 阿克曼模型

阿克曼转向几何是汽车上转向的一种实现方法，在转弯的时候，内侧轮胎转弯半径小于外侧轮胎；该种转向方式比内外侧转弯半径一致的汽车行驶起来更稳定。

w: 后轮胎之间间隔 l：前后轴距 $\Phi i$ : 内轮转角 $\Phi o$ : 外轮转角 r: 转弯半径

通过上图的几何关系，很容易推导出以下公式:

$\tan \Phi = \frac{l}{r}$

$\tan \Phi i = \frac{l}{r-w/2}$

$\tan \Phi o = \frac{l}{r+w/2}$

可以得到以下方程：

$\tan \Phi o - \tan \Phi i = \cot \Phi o - \cot\Phi i = \frac{r+w/2}{l} - \frac{r-w/2}{l} = \frac{w}{l}$

同时可以得出以下方程：

$\cot \Phi i - \cot \Phi =\frac{r-w/2}{l} - \frac{r}{l} = -\frac{w}{2l}$ 即 $\cot \Phi i = \cot \Phi - \frac{w}{2l}$

$\cot \Phi o - \cot \Phi =\frac{r+w/2}{l} - \frac{r}{l} = \frac{w}{2l}$ 即 $\cot \Phi o = \cot \Phi + \frac{w}{2l}$

这些方程有一个特殊情况， $\Phi$ 为0，因为 $\cot \Phi$ 没有定义。但是由于 $\cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha }$ ，可以得出下面的公式：

$\Phi i = \tan^{-1}(\frac{2l\sin \Phi }{2l\cos \Phi -w\sin\Phi })$

$\Phi o = \tan^{-1}(\frac{2l\sin \Phi }{2l\cos \Phi +w\sin\Phi })$

2. 运动学

运动学的作用是预测未来的状态。对于阿克曼模型，旋转中心在后轮上。对于给定速度v

$\dot{x} = v\cos \Theta$

$\dot{y} = v\sin \Theta$

$\dot{\Theta } = \frac{v}{l}\tan \Phi \approx \frac{v}{l}\Phi$
在数学和工程领域，常常需要对复杂的数学函数进行近似，以便在计算中更容易处理。正切函数 tan(θ) 是一个三角函数，通常情况下需要使用计算器或计算机来计算其精确值。但是，在某些情况下，可以近似这个函数，以减少计算的复杂性。对于 tan(θ) 进行简化时，当车辆的方向盘在 30 度转向锁定位置时，这个近似误差约为 3 度。