线性回归是一种基本的监督学习方法，广泛用于回归问题中。它通过学习输入变量与输出变量之间的线性关系来对数据进行建模。以下从定义到求解的角度系统介绍线性回归模型。

线性回归模型的定义

线性回归假设输出变量 𝑦和输入变量 𝑥 之间满足线性关系：$$y=w^{T}x+b$$

• 符号说明：
  • $x\in {\mathbb{R}}^n$：输入特征向量（维度为 𝑛）。
  • $w\in {\mathbb{R}}^n$：权重向量，表示每个特征的系数。
  • $b\in \mathbb{R}$：偏置（bias），表示线性模型的截距。
  • $y\in \mathbb{R}$：输出变量，通常是一个连续值。
• 目标： 根据训练数据集 $D=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^m$ ，学习参数 𝑤 和 𝑏，使得模型能对未知数据的输出 𝑦 做出准确预测。
• 假设： 假定输出 𝑦 和输入 𝑥 满足以下关系：$$y=w^{T}x+b+ϵ$$
  其中 𝜖 是独立同分布的噪声项，通常服从正态分布 $N(0,{\sigma }^2)$。

线性回归模型的代价函数

在机器学习中，代价函数用来衡量模型预测值与真实值之间的误差。

• 平方误差损失函数： 在线性回归中，常用平方误差作为损失函数来衡量单个样本预测值${\hat{y}}_i$与真实值$y_i$的差异：$$L(y_i,{\hat{y}}_i)=(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$
• 线性回归的代价函数（均方误差, Mean Squared Error, MSE）： 对于 𝑚 个训练样本，定义代价函数 J(w,b) 为：$$J(w,b)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(y_i-(w^T{x}_i+b)\right)}^2$$
  • 其中：
    • $y_i$：第 𝑖 个样本的真实值。
    • $w^T{x}_i+b$：第 𝑖 个样本的预测值。
    • $\frac{1}{2m}$:引入1/2是为了在求导时简化计算。
• 目标： 寻找参数 𝑤 和 𝑏，使得代价函数 J(w,b) 最小。

梯度下降法求解线性回归模型

梯度下降是一种常用的优化算法，用于最小化代价函数 J(w,b) 并求解模型参数。

梯度下降法原理

• 梯度下降通过不断更新参数 𝑤 和 𝑏，逐步减小代价函数值，直到达到最优解。
• 更新规则：$$w:=w-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w},b:=b-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$$
  • 其中：
    • $\mathrm{a}$：学习率（控制每次更新的步长）。
    • $\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}\text{ 和 }\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$ ​
      ：代价函数对 𝑤 和 𝑏 的梯度。

代价函数的梯度计算

对于代价函数$J(w,b)=\frac{1}{2m}{\sum }_{i=1}^m{\left(y_i-(w^T{x}_i+b)\right)}^2$，其梯度为：

• 对 𝑤 求偏导：$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-(w^T{x}_i+b))x_i$$
• 对 b 求偏导：$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-(w^T{x}_i+b))$$

梯度下降算法流程

• 初始化参数： 随机初始化 𝑤 和 𝑏。
• 迭代更新参数： 按照以下公式更新 𝑤 和 𝑏：$$w:=w+\frac{\alpha }{m}\sum _{i=1}^m(y_i-(w^T{x}_i+b))x_i$$
  $$b:=b+\frac{\alpha }{m}\sum _{i=1}^m(y_i-(w^T{x}_i+b))$$
• 停止条件： 当代价函数 J(w,b) 的变化值小于某个阈值，或者达到最大迭代次数时停止。

线性回归模型的优点和局限性

优点：

• 模型简单，易于理解和实现。
• 具有很好的可解释性，权重𝑤可以反映每个特征对输出的影响。
• 对小规模数据和线性关系数据表现良好。

局限性：

• 只能捕捉输入与输出之间的线性关系，无法处理非线性关系。
• 对异常值敏感，容易受噪声影响。
• 需要手动选择特征，无法自动提取特征。

总结

• 线性回归模型是一种简单但有效的回归方法，适用于线性关系的数据。
• 模型的核心是通过最小化均方误差（MSE）来找到最佳参数。
• 梯度下降是一种常用的优化方法，可以有效求解线性回归模型参数。
• 尽管线性回归存在一定局限性，但其直观性和高效性使其在许多场景中仍有广泛应用。