1.两种布局约定方式

布局（Layout）：在矩阵求导中有两种布局，分别为分母布局(denominator layout)和分子布局(numerator layout)。这两种不同布局的求导规则是不一样的。

向量$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$,关于标量$x$的求导，
在分子布局下，为：
$$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x}=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial y_1}{\partial x}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x}\\ ⋮\\ \frac{\partial y_n}{\partial x}\end{array}\right]$$
而在分母布局下，为：
$$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y_1}{\partial x}& \frac{\partial y_2}{\partial x}& \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x}\end{array}\right]$$
通过观察和推导我们可以知道，分子布局和分母布局之间刚好差一个转置，即在分子布局下与原来$\mathbf{y}$相同，而在分母布局下差一个转置。

2.矩阵求导的类型

3.标量对标量求导

这种情况就是平常的代数求导，直接为$\frac{\partial y}{\partial x}$

4.向量对标量求导

向量$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$,关于标量$x$的求导（以分子布局约定）就是$\mathbf{y}$的每一个元素分别对$x$求导，可以表示为：
$$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x}=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial y_1}{\partial x}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x}\\ ⋮\\ \frac{\partial y_n}{\partial x}\end{array}\right]$$
此时为正切向量，$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x}$为$\mathbf{y}$的正切向量，有映射$\mathbf{y}$：${\mathbb{R}}^n⟹{\mathbb{R}}^n$??

5.矩阵对标量求导

矩阵对标量的求导类似于向量关于标量的求导，也就是矩阵的每个元素分别对标量$x$求导，矩阵$\mathbf{Y}=\left[\begin{array}{cccc}{y}_{11}& y_{12}& \cdots & y_{1n}\\ y_{21}& y_{22}& \cdots & y_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_{n1}& y_{n2}& \cdots & y_{nn}\end{array}\right]$对标量$x$的导数(以分子布局约定)为:
$$\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y_{11}}{\partial x}& \frac{\partial y_{12}}{\partial x}& \cdots & \frac{\partial y_{1n}}{\partial x}\\ \frac{\partial y_{21}}{\partial x}& \frac{\partial y_{22}}{\partial x}& \cdots & \frac{\partial y_{2n}}{\partial x}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_{n1}}{\partial x}& \frac{\partial y_{n2}}{\partial x}& \cdots & \frac{\partial y_{nn}}{\partial x}\end{array}\right]$$

6.标量对向量求导

标量$y$关于向量$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$的求导可以表示为：
$$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y}{\partial x_1}& \frac{\partial y}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_n}\end{array}\right]$$
此时的向量叫做梯度向量。$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}$为标量$y$在空间 ${\mathbb{R}}^n$的梯度，该空间以$x$为基。

7.向量对向量求导

向量函数（即函数组成的向量）$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$关于向量$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$的导数记作：
$$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1}& \frac{\partial y_n}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n}\end{array}\right]$$
此时获得的矩阵$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$叫做Jacobian矩阵。

8.标量对矩阵求导

自变量为矩阵X 的标量函数 y 关于矩阵X的导数为：(分子布局约定)
$$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{X}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial y}{\partial x_{11}}& \frac{\partial y}{\partial x_{21}}& \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{p1}}\\ \frac{\partial y}{\partial x_{12}}& \frac{\partial y}{\partial x_{22}}& \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{p2}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y}{\partial x_{1q}}& \frac{\partial y}{\partial x_{2q}}& \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}}\end{array}\right]$$
注意到这里关于X的梯度的索引就是矩阵X索引的转置。（矩阵的标量函数会涉及到矩阵的迹和行列式）。

参考文献:

[1] Matrix calculus
[2] 矩阵求导（一）
[3] 数学-矩阵计算（4）两种布局
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