一、引言

布谷鸟搜索（Cuckoo Search，CS）算法是一种新型的启发式优化算法，它模拟了布谷鸟的繁殖行为和莱维飞行（Lévy flight）模式。这种算法在求解复杂的优化问题方面表现出了良好的性能，具有搜索效率高、参数少等优点。

二、算法原理

（一）布谷鸟的繁殖行为

在自然界中，布谷鸟会将自己的蛋产在其他鸟类的巢中。如果布谷鸟蛋被宿主鸟发现，宿主鸟可能会将其扔掉或者抛弃鸟巢另建新巢。在布谷鸟搜索算法中，将每个鸟巢看作是一个潜在的解，而布谷鸟寻找合适鸟巢产卵的过程则类比为寻找最优解的过程。

（二）莱维飞行

莱维飞行是一种随机游走方式，其步长服从莱维分布。在布谷鸟搜索算法中，布谷鸟通过莱维飞行来探索新的搜索空间，以找到更优的解。这种飞行模式使得算法在搜索过程中既有局部搜索能力，又有较强的全局搜索能力。

import numpy as np
import math
from scipy.stats import levy

# 目标函数
def objective_function(x):
    return x ** 2 * np.sin(x) + 1

# 生成莱维飞行步长
def levy_flight(beta):
    sigma = math.pow((math.gamma(1 + beta) * sin((math.pi * beta) / 2)) / (math.gamma((1 + beta) / 2) * beta * math.pow(2, ((beta - 1) / 2))), 1 / beta)
    u = np.random.normal(0, 1)
    v = np.random.normal(0, 1)
    step = u / np.power(np.abs(v), 1 / beta) * sigma
    return step

# 布谷鸟搜索算法
def cuckoo_search():
    n = 20  # 鸟巢数量
    pa = 0.25  # 发现概率
    Max_Iter = 100  # 最大迭代次数
    lb = 0  # 搜索区间下限
    ub = 10  # 搜索区间上限

    nests = np.random.uniform(lb, ub, n)  # 初始化鸟巢位置
    fitness = np.array([objective_function(nest) for nest in nests])  # 计算初始适应度

    for _ in range(Max_Iter):
        new_nests = []
        for i in range(n):
            # 通过莱维飞行生成新的布谷鸟位置
            step_size = 0.01 * levy_flight(1.5)
            new_nest = nests[i] + step_size * (nests[i] - np.random.choice(nests))
            new_nests.append(new_nest)

        new_fitness = np.array([objective_function(new_nest) for new_nest in new_nests])

        for i in range(n):
            # 更新鸟巢
            if new_fitness[i] < fitness[i]:
                nests[i] = new_nests[i]
                fitness[i] = new_fitness[i]

        # 发现和抛弃机制
        random_index = np.random.permutation(n)[:int(pa * n)]
        nests[random_index] = np.random.uniform(lb, ub, len(random_index))
        fitness[random_index] = np.array([objective_function(nest) for nest in nests[random_index]])

    best_nest_index = np.argmin(fitness)
    return nests[best_nest_index], fitness[best_nest_index]

# 运行布谷鸟搜索算法并输出结果
best_solution, best_fitness = cuckoo_search()
print("最优解:", best_solution)
print("最优值:", best_fitness)

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 objective_function，用于计算给定  值下的函数值。levy_flight 函数用于生成莱维飞行的步长。cuckoo_search 函数实现了布谷鸟搜索算法的主要逻辑，包括鸟巢的初始化、通过莱维飞行生成新解、更新鸟巢和发现 - 抛弃机制。最后，我们运行算法并输出最优解和最优值。这个简单的案例展示了布谷鸟搜索算法在函数优化问题中的应用，它可以很容易地扩展到多变量和更复杂的优化问题中。