一.极限的定义

1.1当x->$\infty$时的极限

极限存在的条件: 左右极限存在且相等

极限不存在的条件: 1.极限为无穷 , 2.左右极限不相等， 3.没有确定的函数值，例如lim（sinx）从0到无穷，但要注意，sinx是有界的

$\frac{1}{0}=\infty$ \qquad $\frac{1}{\infty }=0$ \qquad $\frac{0}{1}=0$ \qquad $\frac{\infty }{1}=\infty$

\quad
例题1: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$
$\therefore$ $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}$存在

\quad
例题2: $\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan x$
$\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$
$\therefore$$\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan x$不存在

\quad

1.2当x->$x_0$时的极限

$\underset{x\to 1}{\lim }x+1=2$ \quad \quad (x在1处有定义)

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$ \quad \quad (x在1处无定义, 因为分母不能为0)

由此可见: 函数在某点的极限与函数在该点的函数值无关

\quad
例题3:

分段函数求极限
(1)要讨论左右极限的情况 (分段点,边界点)
(2)直接代入 (一般点)

(1)
$$求f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& x<0\\ x^2& 0\le x\le 1在x=0处和x=1处的极限\\ 1& x>1\end{array}$$

在x=0处的极限
$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x+1)=1$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2=0$
$\therefore$ $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$不存在

在x=1处的极限
$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$
$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }1=1$
$\therefore$ $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$存在
\quad
\quad
(2)
$$求f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& x<0\\ x^2& 0\le x\le 1在x=0.5处的极限\\ 1& x>1\end{array}$$
$\underset{x\to 0.5}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0.5}{\lim }{x}^2=0.25$

\quad

二.无穷小的定义

定义: 极限为0的量称为无穷小量, 简称无穷小

性质1 有限无穷小的代数和仍然是无穷小
性质2 有限个无穷小之积仍然是无穷小
性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

\quad
例题4:
(1) $\frac{1}{\infty }=0$

(2) $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\cos x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\cos x=\underset{x\to \infty }{\lim }0\cos x=0$

(3) 当$x\to 0时,下列函数为无穷小量的是(B)$
A. $\frac{\sin x}{x}$
B. $x\ast \sin x$
C. $\frac{\cos x}{x}$
D. $1-\sin x$

(4) x $\to$?时, 函数$y=e^{-x}$为无穷大
$y=e^{-x}=\frac{1}{e^x}$, 当$e^x\to 0$时$\frac{1}{e^x}$为无穷大

则$x\to -\infty$时,函数$y=e^{-x}$为无穷大

\quad

三.极限的运算

3.1极限的四则运算

在自变量的同一变化过程中, 若$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$则
$\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$
$\lim [f(x)\ast g(x)]=\lim f(x)\ast \lim g(x)=AB$
\quad
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$

\quad
例题5:
(1) $\underset{x\to 0}{\lim }(\sin x+e^x)=\underset{x\to 0}{\lim }\sin x+\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x=0+1=1$

(2) $\underset{x\to 0}{\lim }3e^x=3\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x=3$ \quad \quad 常量可以提出来

(3) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-4}$

$\frac{\underset{x\to -2}{\lim }(x^2-4)}{\underset{x\to -2}{\lim }(x^2+1)}=0$

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-4}=\frac{\underset{x\to -2}{\lim }(x^2+1)}{\underset{x\to -2}{\lim }(x^2-4)}=\infty$

\quad
\quad
\quad

极限可以计算的条件
(1)有限项
(2)极限存在
(3)分母不为0

还未规定值的类型: $\frac{0}{0}、\frac{\infty }{\infty }、\infty +\infty 、\infty -\infty 、0\ast \infty 、\infty \ast 0$

\quad
例题6:
(1) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2+3x+1}=\frac{3}{8+6+1}=\frac{1}{5}$

(2) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$ \quad $\frac{0}{0}型$

(3) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}$ \quad $\frac{0}{0}型$

(4) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3-x^2}{x^4-x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2(x-1)}{x^2(x^2-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x-1)}{(x^2-1)}=1$

(5) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{10x-1}-3}{\sqrt{5x-1}-2}上下同时乘\sqrt{10x-1}+3和\sqrt{5x-1}+2$

(4)$\frac{\infty }{\infty }型$ 选择题做法

(1)看最高次数
(2)看系数

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-3x^2-x+1}{2x^2-x+100}=\frac{\infty }{1}=\infty$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2-x+100}{x^3-3x^2-x+1}=\frac{1}{\infty }=0$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^4+x^3-2}{2x^4-3x^2-x+1}=\frac{3}{2}$

\quad
大题做法
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-2x+1}{4x^3+x^2+1}$ 上下除以最高次数$x^3$
$\because$ $\frac{1}{\infty }=0$
解得: 极限等于$\frac{1}{4}$

\quad
(5) $\underset{x\to 1}{\lim }(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1})=\underset{x\to 1}{\lim }[\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}]=\frac{1}{2}$

\quad
\quad

3.2 两个重要极限

第一个重要极限: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

越趋近于0, 两个函数越相等, 比值为1

\quad
例题7:
(1) $\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin (x-\pi )}{x-\pi }=\underset{x-\pi \to 0}{\lim }\frac{\sin (x-\pi )}{x-\pi }=1$

(2) $\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}=\underset{\frac{1}{x}\to 0}{\lim }=\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$

(3) $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\ast \sin x=0$

\quad
\quad

第二个重要极限: $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

\quad
例题8:
(1) $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{2}{x}{)}^x=\underset{\frac{x}{2}\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{\frac{x}{2}}{)}^{\frac{x}{2}\ast 2}=e^2$

(2) $\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x=\underset{-x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{-x}{)}^{-x\ast (-1)}=e^{-1}$

(3) $\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{2}{3x}{)}^{5x}=\underset{-\frac{3x}{2}\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{-\frac{3x}{2}}{)}^{-\frac{3x}{2}\ast (-\frac{10}{3})}=e^{-\frac{10}{3}}$

\quad
例题9:
证明: $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{x+7}$

$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{x+7}=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x\ast \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^7=e\ast 1^7=e$

$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{x+a}$ \quad \quad (a为常数)

\quad
例题10:
(1)$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{2x+3}{2x+1}{)}^x=\underset{x+\frac{1}{2}\to \infty }{\lim }(\frac{2x+1}{2x+1}+\frac{2}{2x+1}{)}^x=\underset{x+\frac{1}{2}\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}{)}^{x+\frac{1}{2}}=e$

(2) $\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln (1+\frac{2}{x})=\underset{x\to \infty }{\lim }\ln (1+\frac{2}{x}{)}^x=\ln \underset{\frac{x}{2}\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{\frac{x}{2}}{)}^{\frac{x}{2}\ast 2}=\ln e^2=2$

\quad

第二个重要极限的变形: $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

\quad
例题11:
(1) $\underset{x\to 0}{\lim }(1-x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{-x\to 0}{\lim }[1+(-x){]}^{\frac{1}{x}\ast (-1)}=e^{-1}$

(2) $\underset{x\to 0}{\lim }(1+2x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{2x\to 0}{\lim }(1+2x{)}^{\frac{1}{2x}\ast 2}=e^2$

(3) $\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x{)}^{\frac{3}{x}+6}=\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x{)}^{\frac{3}{x}}=\underset{-2x\to 0}{\lim }[1+(-2x){]}^{\frac{3}{x}\ast (-6)}=e^{-6}$

\quad
例题12:
(1)若$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{kx}=e^2$, 则k= ____

$[\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x{]}^k=e^2$
则k=2

(2)极限$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{2}{x}{)}^x=$

$\underset{-\frac{x}{2}\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{-\frac{x}{2}}{)}^{-\frac{x}{2}\ast (-2)}=e^{-2}$

\quad
\quad

3.3 等价量替换

3.3.1无穷小的阶

设$\underset{x\to ?}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to ?}{\lim }g(x)=0$ 满足:
(1) 如果$\underset{x\to ?}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$, 则称$f(x)$是$g(x)$高阶无穷小
(1) 如果$\underset{x\to ?}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$, 则称$f(x)$是$g(x)$低阶无穷小
(1) 如果$\underset{x\to ?}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c(常数)$, 则称$f(x)$是$g(x)$同阶无穷小
(1) 如果$\underset{x\to ?}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$, 则称$f(x)$是$g(x)$等价无穷小

\quad

3.3.2等价替换

当$x\to 0$时:

sinx~x	tanx~x
arcsin x~x	arctan x~x
1-cosx ~ $\frac{x^2}{2}$	$e^x-1$ ~ x
ax-1 ~ $x\ln a$	$\ln (1+x)$ ~ $x$
$\sqrt[n]{1+x}-1$ ~ $\frac{x}{n}$	$(1+x{)}^a-1$ ~ $ax$

\quad
例题13:
(1) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{3x^2}=\frac{1}{6}$

(2) 当$x\to 0$时,无穷小$\tan 2x$是x的_________
同阶无穷小

(3) 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{1-e^x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{-x}=0$

(4) 求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sin (x-1)}{x^2-1}=\underset{x-1\to 0}{\lim }\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}$

(5) 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{1-\sqrt{1+2x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{-x}=0$

(6) 当$x\to 1$时, 1-$\cos x$是$\tan x$的(高阶无穷小)

\quad

3.4 洛必达法则

$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty }{\infty }$专用

\quad
例题14: 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-x^2-x-1}{x(e^x-1)}$ \quad $\frac{0}{0}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-x^2-x-1}{x(e^x-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-x^2-x-1}{x^2}$ 注意: 加减号两端不能等量替换
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-2x-1}{2x}$ \quad 上下同时求导
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-2}{2}=-\frac{1}{2}$

\quad
例题15: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-3x^2+4}{x^2-4x+4}$

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3x^2-6x}{2x-4}$
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{6x-6}{2}=3$

\quad
例题16: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3}{\ln x}$ \quad $\frac{\infty }{\infty }$型
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }3x^3=+\infty$

\quad
例题17: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^n}{e^x}$
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{n{x}^{n-1}}{e^x}...\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{e^x}=0$

\quad
例题18: $\underset{x\to +0^{+}}{\lim }{x}^2.\ln x$ \quad $0\ast \infty$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{x^{-2}}$ \quad $\frac{\infty }{\infty }$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{-1}}{-2x^{-3}}$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{-2}=0$

\quad
例题19: $\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1})$ \quad $\infty -\infty$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{(e^x-1)+x{e}^x}$ \quad $\frac{0}{0}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{(e^x-1)+x{e}^x}$ \quad 注意: 加减号两端不能等量替换
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{e^x+e^x+x{e}^x}=\frac{1}{2}$

\quad
例题20: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{4}=0$

\quad
例题21: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{4}$

\quad
\quad

四.函数的连续性

函数$f(x)在点x_0$处连续, 必须同时满足以下三个条件:
(1) $f(x)$在点$x_0$及其近旁有定义
(2) $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)存在$ \qquad (左右极限存在且相等则极限存在)
(3) $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

\quad
例题14:
设函数$f(x)$在点$x_0$处连续, 且$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=3$, 则$f(x_0)=$_______
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=3$
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)=3$

\quad
例题15:
$$设f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x& x<0\\ x-a& x\ge 0在x=0处连续,则a等于\end{array}$$

$-a=e^0$
a=-1

\quad
例题16:
$$已知函数f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax}{\sin x}& x\ne k\pi \\ 2& x=0在x=0处连续,则a等于\end{array}$$
$\sin x$~$x$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+ax}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }x+a=a$
$\because$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)=2$
$\therefore$ $a=2$

\quad
例题17:
$$已知函数f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}& x\ne \pm 2\\ a-\frac{3}{4}& x=2在x=2处连续,则a等于\end{array}$$
$\sin x$~$x$
$\sin (x-2)$~ $x-2$
$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}=\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$
$a-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
a=1

\quad
\quad

4.1 间断点

\quad
例题18:
$$讨论f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x& x>0\\ 2& x=0在x=0处的连续性\\ 1+x& x<0\end{array}$$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$, 极限存在
$f(0)=2$, 连续的条件不满足, 是可去断点

\quad
例题19:
$$讨论f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x\le 0\\ x+1& x>0在x=0处的连续性\end{array}$$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$, 极限不存在
连续的条件不满足, 是不可去断点

\quad
例题20:
$$讨论f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x\le 0\\ \frac{1}{x}& x>0在x=0处的连续性\end{array}$$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$, 极限不存在
连续的条件不满足, 是不可去断点

\quad
例题21:
x=0是函数$f(x)=\cos \frac{1}{x}$的_________
振荡间断点

\quad
例题22:
函数$y=f(x)$在$x=x_0$处有定义, 是$y=f(x)$在$x=x_0$处连续的 (A)
A. 必要条件
B. 充分条件
C. 充分必要条件
D. 无关条件
\quad

函数$y=f(x)$在$x=x_0$处极限存在, 是$y=f(x)$在$x=x_0$处连续的 (A)
A. 必要条件
B. 充分条件
C. 充分必要条件
D. 无关条件

\quad

4.2 初等函数的连续性

1.一切初等函数在其定义域区间内都是连续的
2. 函数的连续区间就是函数的定义域

\quad
例题23:
函数$f(x)=\ln (1-x^2)$的连续区间为_______
$1-x^2>0$
连续区间为(-1,1)

\quad
\quad

4.3 求间断点

求间断点时不能化简

例题24:
(1) 已知函数$f(x)=\frac{x-5}{x^2-4}$, 则$f(x)$的间断点的个数是__2___
$x^2-4\ne 0$
$x\ne \pm 2$

(2)已知函数$f(x)=\frac{x}{x(x-1)}$, 则$f(x)$的间断点的个数是___2___
$x\ne 1,x\ne 0$

(3)函数$f(x)=\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x-5)}$的所有间断点是______
1,5

\quad

4.3 闭区间上连续函数的性质

(根的存在定理) 若$f(x)$在[a,b]上连续, 且$f(a)\ast g(b)<0$, 则至少存在一个$\beta \in (a,b)$,使得$f(\beta )=0$

只有两个地方会出现 ”至少”, 一个是根的判断, 一个是中值定理

\quad
例题25:
证明方程$x^3-4x^2+1=0$ 在(0,1)内至少有一个实根
设$f(x)=x^3-4x^2+1=0$, 由于它在[0,1]上连续,
且$f(0)=1>0,f(1)=-2<0$
由推论知,至少存在一点$\beta \in (0,1)$,使得$f(\beta )=0$
即方程在区间(0,1)内至少有一个实数根