AFDM波形理论解析:数学建模与信号构造原理

一、引言

在现代宽带无线通信系统中,随着通信速率和用户移动性的不断提升,传统正交频分复用(OFDM, Orthogonal Frequency Division Multiplexing)波形逐渐暴露出在高多普勒频移大时延扩展场景下性能下降的问题。尤其是在高铁、无人机、卫星通信和未来 6G 典型应用中,时变信道的非平稳特性使得 OFDM 难以维持其正交性,从而引发严重的码间干扰(ISI)和子载波间干扰(ICI)。

为解决这一问题,研究者提出了多种时频域复用技术,其中包括 OTFS(Orthogonal Time Frequency Space)和近年兴起的 AFDM(Affine Frequency Division Multiplexing)波形。AFDM 通过 引入仿射变换(Affine Transformation) 实现信号在时频平面上的灵活映射,从而增强了系统对时延扩展与多普勒扩展的鲁棒性。

本文旨在从理论解析与数学建模的角度,系统阐述 AFDM 波形的信号构造原理与核心特性。我们将从连续时间信号模型出发,推导离散化表达,揭示其与传统 OFDM/OTFS 波形的联系与区别,并为后续的接收机设计与系统优化提供理论基础。

二、AFDM 波形概述

2.1 基本概念

AFDM(Affine Frequency Division Multiplexing)是一种基于仿射变换(Affine Transformation)的新型调制波形。与传统的 OFDM 主要通过频域正交子载波实现复用不同,AFDM 在时频平面上引入线性调频(chirp-like)特性,通过频率与时间的耦合映射实现符号调制。其核心思想是:在调制过程中,不仅考虑时间平移,还引入频率与时间之间的仿射关系,从而增强系统在时变信道中的鲁棒性。

2.2 与其他波形的关系与区别

  • 与 OFDM 的区别
    OFDM 仅利用频域正交性,在高多普勒环境下易出现 ICI;AFDM 则通过频率随时间的线性变化,使得子载波在时变信道中保持较强的抗干扰特性。

  • 与 OTFS 的关系
    OTFS 直接在时延-多普勒域中进行调制,而 AFDM 则通过仿射变换实现时频域调制,其本质上是一种特殊形式的时频映射,既保留了频域复用的特性,又具备时延-多普勒域的鲁棒性。

2.3 典型应用场景

AFDM 特别适用于以下高动态环境:

  • 高速移动场景:高铁、无人机、低轨卫星通信
  • 大时延扩展信道:海洋通信、长距离宽带传输
  • 未来 6G 及超宽带系统:需要同时兼顾高频谱效率与高鲁棒性

通过这些特性,AFDM 被认为是下一代无线通信中具有潜力的候选波形之一。

三、AFDM 信号数学建模

AFDM 波形的核心在于通过 仿射变换(Affine Transformation) 实现符号在时频平面的映射。本节将从连续时间模型出发,逐步推导其离散化表达与调制公式。

3.1 连续时间信号模型

设有离散符号序列 {sk}\{s_k\}{sk},其中 k=0,1,…,N−1k = 0,1,\ldots,N-1k=0,1,,N1 表示第 kkk 个调制符号,NNN 为总符号数。AFDM 调制的连续时间信号可表示为:
x(t)=∑k=0N−1sk⋅g(t) ej2π(f0+αk)t x(t) = \sum_{k=0}^{N-1} s_k \cdot g(t) \, e^{j2\pi \left(f_0 + \alpha k\right)t} x(t)=k=0N1skg(t)ej2π(f0+αk)t

其中:

  • g(t)g(t)g(t) 为基带脉冲成形函数;
  • f0f_0f0 为初始频率;
  • α\alphaα 为频率步进参数,由仿射变换决定。

通过 α\alphaα 的设计,可实现符号在时频平面的线性排布,形成类似 chirp 信号 的频率随时间变化特性。

3.2 离散化过程

在离散时间系统中,采样周期为 Ts=1/FsT_s = 1/F_sTs=1/Fs,离散时间索引为 n=0,1,…,L−1n=0,1,\ldots,L-1n=0,1,,L1,其中 LLL 表示调制长度。离散化后的 AFDM 信号为:
x[n]=∑k=0N−1sk⋅g[n] ej2π(f0+αk)nTs x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} s_k \cdot g[n] \, e^{j2\pi \left(f_0 + \alpha k\right) nT_s} x[n]=k=0N1skg[n]ej2π(f0+αk)nTs

若选用矩形脉冲 g[n]=1g[n] = 1g[n]=1,则信号构造更为简洁,适合数字基带实现。

3.3 信号构造矩阵表示

为了便于系统实现与分析,AFDM 调制可用矩阵形式表示为:

x=FAFDM⋅s \mathbf{x} = \mathbf{F}_{\text{AFDM}} \cdot \mathbf{s} x=FAFDMs

其中:

  • s=[s0,s1,…,sN−1]T\mathbf{s} = [s_0, s_1, \ldots, s_{N-1}]^{\mathrm{T}}s=[s0,s1,,sN1]T 为符号向量;
  • x=[x0,x1,…,xL−1]T\mathbf{x} = [x_0, x_1, \ldots, x_{L-1}]^{\mathrm{T}}x=[x0,x1,,xL1]T 为调制信号向量;
  • FAFDM\mathbf{F}_{\text{AFDM}}FAFDM 为 AFDM 调制矩阵,其元素由仿射映射规则确定。

3.4 子载波干扰与特性分析

由于 AFDM 波形引入了频率随时间的变化,其子载波间的干扰(ICI)和码间干扰(ISI)取决于仿射参数 α\alphaα 及信道时变特性。通过合理设计 α\alphaα 与脉冲成形函数 g(t)g(t)g(t),可以在时延-多普勒域中实现较好的稀疏化与抗干扰特性。

四、时延-多普勒域特性

AFDM 波形的设计目标之一,是在高时延扩展高多普勒扩展场景下实现稳健传输。因此,研究其在时延-多普勒(Delay-Doppler, DD)域中的特性,对于理解其抗干扰机理至关重要。

4.1 信道建模

时变信道通常由若干多径分量组成,每一条路径由时延 τℓ\tau_\ellτ 和多普勒频移 νℓ\nu_\ellν 表征。信道冲激响应可表示为:

h(t,τ)=∑ℓ=0Lp−1hℓ δ(τ−τℓ) ej2πνℓt h(t,\tau) = \sum_{\ell=0}^{L_p-1} h_\ell \, \delta(\tau - \tau_\ell) \, e^{j 2 \pi \nu_\ell t} h(t,τ)==0Lp1hδ(ττ)ej2πνt

其中:

  • hℓh_\ellh 为第 ℓ\ell 条路径的复增益;
  • LpL_pLp为多径数量;
  • δ(⋅)\delta(\cdot)δ() 为 Dirac δ 函数。

4.2 AFDM 在时延-多普勒域的映射

与传统 OFDM 不同,AFDM 通过引入仿射频率调制,使符号在时频平面上形成线性变换关系,其信号在时延-多普勒域中的分布更为均匀。调制后的时延-多普勒域表示可通过二维傅里叶变换(2D-FT)近似得到:

X(τ,ν)=∫x(t) e−j2πνt δ(t−τ) dt X(\tau,\nu) = \int x(t) \, e^{-j 2\pi \nu t} \, \delta(t - \tau) \, dt X(τ,ν)=x(t)ej2πνtδ(tτ)dt

通过合适的仿射参数 α\alphaα 设计,AFDM 波形能在 DD 域内实现能量集中与路径稀疏化,从而减少子载波间干扰 (ICI)。

4.3 数学分析与性能指标

在时延-多普勒域下,AFDM 的优势主要体现在以下两点:

  1. 时延容忍度提升:由于信号具备类似 chirp 的线性调频特性,其能在较大时延扩展下维持良好的正交性。
  2. 多普勒抗扰性增强:频率随时间线性漂移,能抵消部分多普勒引起的频偏,从而减轻 ICI。

关键性能指标包括:

  • 干扰抑制系数:衡量 ICI 与 ISI 的幅度;
  • 信噪比 (SNR) 与误码率 (BER):在高速移动场景下评估系统可靠性;
  • 能量集中度:衡量信号在 DD 域的稀疏性。

五、发射机与接收机框架

AFDM 波形不仅提出了一种新的调制方式,其系统架构也需配合时延-多普勒特性进行优化。本节介绍典型的 AFDM 发射机与接收机设计流程,并用矩阵表示进行抽象化描述。

5.1 发射机框架

AFDM 发射端的主要步骤包括:

  1. 符号映射:输入比特流通过调制器(如 QPSK、QAM)映射为复数符号序列 {sk}\{s_k\}{sk}
  2. AFDM 调制:依据仿射参数 α\alphaα 和初始频率 f0f_0f0,利用调制矩阵 FAFDM\mathbf{F}_{\text{AFDM}}FAFDM 将符号映射至时频平面;
  3. 脉冲成形与上变频:选择脉冲函数 g(t)g(t)g(t) 并上变频至射频载波;
  4. 发射:通过射频链路发送至无线信道。

数学表达为:
x=FAFDM⋅s \mathbf{x} = \mathbf{F}_{\text{AFDM}} \cdot \mathbf{s} x=FAFDMs

其中 s\mathbf{s}s 为符号向量,x\mathbf{x}x 为发射信号。

5.2 接收机框架

AFDM 接收端的设计需考虑时延与多普勒扩展,其主要流程为:

  1. 信号接收与下变频:接收信号经模数转换与基带处理;
  2. 逆仿射解调:通过 FAFDM−1\mathbf{F}_{\text{AFDM}}^{-1}FAFDM1或等效逆变换还原符号;
  3. 信道均衡:在时延-多普勒域估计信道冲激响应 h(t,τ)h(t,\tau)h(t,τ),并进行干扰抑制;
  4. 符号解映射与译码:恢复原始比特流。

接收过程可用矩阵形式描述为:
s^=W⋅y \hat{\mathbf{s}} = \mathbf{W} \cdot \mathbf{y} s^=Wy
其中 y\mathbf{y}y 为接收信号向量,W\mathbf{W}W 为均衡矩阵,s^\hat{\mathbf{s}}s^ 为恢复后的符号。

5.3 关键设计考虑

  • 参数选择:仿射系数 (\alpha) 与子载波间隔需根据最大多普勒频移与时延扩展优化;
  • 均衡策略:可采用最小均方误差(MMSE)、最小二乘(LS)等均衡器;
  • 计算复杂度:通过快速傅里叶变换(FFT)或稀疏矩阵运算降低实现成本。

六、AFDM代码实现

本节给出 AFDM 的参考实现端到端仿真流程。实现遵循前文推导的
S=L1HFHL2HX,X^=L2FL1S \mathbf{S}=\mathbf{L}_1^{\mathrm{H}}\mathbf{F}^{\mathrm{H}}\mathbf{L}_2^{\mathrm{H}}\mathbf{X},\quad \hat{\mathbf{X}}=\mathbf{L}_2\mathbf{F}\mathbf{L}_1\mathbf{S} S=L1HFHL2HX,X^=L2FL1S
其中 F\mathbf{F}F 为单位化 DFT,L1,L2\mathbf{L}_1,\mathbf{L}_2L1,L2 为由 chirp 相位构成的对角单位阵。
为提升效率,代码不显式构造对角矩阵,而是用向量逐列相乘实现。

6.1 AFDM调制

AFDM 调制的核心思想是通过 两级 chirp 矩阵与离散傅里叶变换(DFT) 对输入符号矩阵进行仿射频率映射,从而实现符号在时延-多普勒域的正交化排布。本节将详细介绍 AFDM 调制的实现步骤与 MATLAB 代码。

调制流程概述
  1. 输入符号矩阵:维度为 N × T,其中 N 为子载波数,T 为符号周期数。
  2. 仿射频率映射系数:通过参数 c1c2 决定 chirp 信号的调制特性。
  3. DFT 运算:实现符号从离散频域到时域的能量分布。
  4. 矩阵相乘:形成 AFDM 时域调制信号。

MATLAB 代码实现

function [S] = AFDMmod(X, c1, c2)
% S = AFDMmod(X, c1, c2) AFDM modulation with defined chirp frequencies
%   Inputs:
%      - X  : N x T transmit symbol matrix
%      - c1 : central digital frequency of first AFDM chirp
%      - c2 : central digital frequency of second AFDM chirp
%   Output:
%      - S  : N x T matrix of AFDM modulated samples

% 获取输入符号矩阵尺寸
sizeX = size(X);
N = sizeX(1);

% 生成两级chirp矩阵
L1 = diag(exp(-1j*2*pi*c1*((0:N-1).^2)));
L2 = diag(exp(-1j*2*pi*c2*((0:N-1).^2)));

% 构建单位化DFT矩阵
F = dftmtx(N)/sqrt(N);

% 计算AFDM调制矩阵
IA = L1' * F' * L2';

% 进行AFDM调制
S = IA * X;

end

6.2 AFDM解调

AFDM 解调是调制过程的逆过程,其核心目标是 恢复原始符号矩阵,并实现 时延-多普勒域到频域的映射逆变换。该过程主要依赖与调制相反的矩阵操作,从接收信号中提取出符号信息。

解调流程概述
  1. 接收信号矩阵:维度为 N × T,包含经过信道与噪声影响的 AFDM 调制信号。
  2. 生成 chirp 矩阵与 DFT 矩阵:与调制过程保持一致。
  3. 构建解调矩阵:与 AFDM 调制矩阵互逆。
  4. 矩阵相乘:恢复出原始发射符号矩阵。

MATLAB 代码实现

function [X] = AFDMdemod(S, c1, c2)
% X = AFDMdemod(S, c1, c2) AFDM demodulation with defined chirp frequencies
%   Inputs:
%      - S  : N x T sampled sequence of an AFDM modulated signal
%      - c1 : central digital frequency of first AFDM chirp
%      - c2 : central digital frequency of second AFDM chirp
%   Output:
%      - X  : N x T matrix of AFDM demodulated samples

% 获取接收信号矩阵尺寸
sizeS = size(S);
N = sizeS(1);

% 生成两级chirp矩阵
L1 = diag(exp(-1j*2*pi*c1*((0:N-1).^2)));
L2 = diag(exp(-1j*2*pi*c2*((0:N-1).^2)));

% 构建单位化DFT矩阵
F = dftmtx(N)/sqrt(N);

% 计算AFDM解调矩阵
A = L2 * F * L1;

% 进行AFDM解调
X = A * S;

end

6.3 主程序

本节展示 AFDM 波形的完整主程序,包括系统参数配置、16-QAM 符号生成、AFDM 调制与解调、信道传输仿真以及星座图可视化。此部分将前两节的 AFDM 调制(6.1)与解调(6.2) 结合起来,实现端到端的仿真流程。

主程序流程
  1. 系统参数设置
    • 载波频率、带宽、采样率、调制阶数、子载波数量等。
  2. 生成发送符号
    • 采用 16-QAM 调制,确保单位平均功率。
  3. AFDM 调制
    • 配置 c1c2,并检查正交性条件。
  4. 通过 AWGN 信道传输
    • 添加高斯白噪声模拟信道影响。
  5. AFDM 解调
    • 恢复原始符号矩阵。
  6. 结果可视化
    • 绘制发送与解调后的星座图。

MATLAB 代码实现

close all; clear all; clc;  % 关闭所有图形,清空工作区和命令窗口

%% 仿真参数设置
carrierFreq = 4e9;  % 载波频率4 GHz
carrierWavelength = physconst("lightspeed")/carrierFreq;  % 波长
bandwidth = 1e6;    % 系统带宽 1 MHz
samplingFreq = 2 * bandwidth;  % 采样频率 (2 倍带宽)

% 调制参数
bps = 4;    % 每符号 4 比特
M = 2^bps;  % 16-QAM
N = 2^8;    % 子载波数量 256
NT = 4;     % 符号周期数 4

%% 信道统计特性
maxDelay = 16;       % 最大时延索引
maxDoppler = 2;      % 最大归一化数字多普勒频移
% 计算最大无模糊距离
maxRange = (maxDelay / samplingFreq) / 2 * physconst("lightspeed");
% 计算最大无模糊速度
maxVel = (maxDoppler / N * samplingFreq) / 2 * carrierWavelength;

%% 生成发送符号
X_i = randi([0 M-1], N, NT);  % 随机符号索引
X = qammod(X_i, M, "UnitAveragePower", true);  % 16-QAM 调制

% 绘制发送星座图
figure;
scatter(real(X), imag(X), 'filled');
title('发射信号 16-QAM 星座图');
xlabel('In-phase (I)');
ylabel('Quadrature (Q)');
grid on; axis equal;

%% AFDM 调制
guardWidth = 4;  % 保护间隔宽度
if (2 * (maxDoppler + guardWidth) * (maxDelay + 1)) + (maxDelay) > N
    fprintf("AFDM 的正交性条件不满足!\n");
end

% AFDM 参数
c1_AFDM = (2 * (maxDoppler + guardWidth) + 1) / (2 * N);
c2_AFDM = 1 / (N^2 * pi);

% AFDM 调制
S_AFDM = AFDMmod(X, c1_AFDM, c2_AFDM);
figure;
plot(real(S_AFDM));
title('AFDM 时域信号');

%% AWGN 信道传输与解调
SNRdB = 30;  % 信噪比 30 dB
S_received = awgn(S_AFDM, SNRdB);  % 加性高斯白噪声信道
X_est_AFDM = AFDMdemod(S_received, c1_AFDM, c2_AFDM);

% 绘制解调后星座图
figure;
scatter(real(X_est_AFDM), imag(X_est_AFDM), 'filled');
title('AFDM 解调后 16-QAM 星座图');
xlabel('In-phase (I)');
ylabel('Quadrature (Q)');
grid on; axis equal;

6.4 结果展示

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

七、总结与展望

本文围绕 AFDM(Affine Frequency Division Multiplexing)波形,从理论基础出发,对其 数学建模、信号构造原理及时延-多普勒域特性 进行了系统解析,并介绍了典型的 发射机与接收机框架。主要结论如下:

  1. 理论基础明确:AFDM 通过引入仿射变换,实现了符号在时频平面的灵活映射,具备类似 chirp 信号的特性。
  2. 适用场景清晰:尤其适合高速移动、宽带时延扩展等复杂信道环境,在高多普勒频移下展现出优越的鲁棒性。
  3. 实现可行性良好:其调制与解调可用矩阵运算或基于 FFT 的快速算法实现,兼容现有通信系统。

7.1 未来发展方向

尽管 AFDM 展现出较大潜力,但仍存在若干有待深入研究的问题:

  • 参数优化:仿射系数与子载波间隔的自适应设计,以匹配动态信道条件;
  • 低复杂度接收算法:结合稀疏信道估计与快速均衡策略,降低硬件实现成本;
  • 与 6G 技术融合:包括大规模 MIMO、智能反射表面(RIS)和卫星通信中的协同应用;
  • 标准化与产业化:如何将 AFDM 纳入未来无线标准仍需进一步探索。

7.2 总结

AFDM 作为一种新型调制波形,在理论与实践上均展现出良好的前景。随着 6G 和高动态通信场景 的发展,AFDM 有望成为未来无线通信的重要候选波形,并推动新一代高鲁棒性传输方案的落地。

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