AFDM波形理论解析:数学建模与信号构造原理
本文系统阐述了AFDM波形的理论基础与实现方法。针对OFDM在高多普勒和大时延扩展场景的局限性,AFDM通过仿射变换实现时频域调制的创新设计。文章首先建立了AFDM的连续时间和离散化数学模型,分析了其与OFDM/OTFS的区别;然后深入研究了AFDM在时延-多普勒域的特性,揭示了其抗干扰机理;最后给出了发射接收机框架和MATLAB实现方法。研究结果表明,AFDM通过引入线性调频特性,在保持频域复用
AFDM波形理论解析:数学建模与信号构造原理
一、引言
在现代宽带无线通信系统中,随着通信速率和用户移动性的不断提升,传统正交频分复用(OFDM, Orthogonal Frequency Division Multiplexing)波形逐渐暴露出在高多普勒频移和大时延扩展场景下性能下降的问题。尤其是在高铁、无人机、卫星通信和未来 6G 典型应用中,时变信道的非平稳特性使得 OFDM 难以维持其正交性,从而引发严重的码间干扰(ISI)和子载波间干扰(ICI)。
为解决这一问题,研究者提出了多种时频域复用技术,其中包括 OTFS(Orthogonal Time Frequency Space)和近年兴起的 AFDM(Affine Frequency Division Multiplexing)波形。AFDM 通过 引入仿射变换(Affine Transformation) 实现信号在时频平面上的灵活映射,从而增强了系统对时延扩展与多普勒扩展的鲁棒性。
本文旨在从理论解析与数学建模的角度,系统阐述 AFDM 波形的信号构造原理与核心特性。我们将从连续时间信号模型出发,推导离散化表达,揭示其与传统 OFDM/OTFS 波形的联系与区别,并为后续的接收机设计与系统优化提供理论基础。
二、AFDM 波形概述
2.1 基本概念
AFDM(Affine Frequency Division Multiplexing)是一种基于仿射变换(Affine Transformation)的新型调制波形。与传统的 OFDM 主要通过频域正交子载波实现复用不同,AFDM 在时频平面上引入线性调频(chirp-like)特性,通过频率与时间的耦合映射实现符号调制。其核心思想是:在调制过程中,不仅考虑时间平移,还引入频率与时间之间的仿射关系,从而增强系统在时变信道中的鲁棒性。
2.2 与其他波形的关系与区别
-
与 OFDM 的区别:
OFDM 仅利用频域正交性,在高多普勒环境下易出现 ICI;AFDM 则通过频率随时间的线性变化,使得子载波在时变信道中保持较强的抗干扰特性。 -
与 OTFS 的关系:
OTFS 直接在时延-多普勒域中进行调制,而 AFDM 则通过仿射变换实现时频域调制,其本质上是一种特殊形式的时频映射,既保留了频域复用的特性,又具备时延-多普勒域的鲁棒性。
2.3 典型应用场景
AFDM 特别适用于以下高动态环境:
- 高速移动场景:高铁、无人机、低轨卫星通信
- 大时延扩展信道:海洋通信、长距离宽带传输
- 未来 6G 及超宽带系统:需要同时兼顾高频谱效率与高鲁棒性
通过这些特性,AFDM 被认为是下一代无线通信中具有潜力的候选波形之一。
三、AFDM 信号数学建模
AFDM 波形的核心在于通过 仿射变换(Affine Transformation) 实现符号在时频平面的映射。本节将从连续时间模型出发,逐步推导其离散化表达与调制公式。
3.1 连续时间信号模型
设有离散符号序列 {sk}\{s_k\}{sk},其中 k=0,1,…,N−1k = 0,1,\ldots,N-1k=0,1,…,N−1 表示第 kkk 个调制符号,NNN 为总符号数。AFDM 调制的连续时间信号可表示为:
x(t)=∑k=0N−1sk⋅g(t) ej2π(f0+αk)t x(t) = \sum_{k=0}^{N-1} s_k \cdot g(t) \, e^{j2\pi \left(f_0 + \alpha k\right)t} x(t)=k=0∑N−1sk⋅g(t)ej2π(f0+αk)t
其中:
- g(t)g(t)g(t) 为基带脉冲成形函数;
- f0f_0f0 为初始频率;
- α\alphaα 为频率步进参数,由仿射变换决定。
通过 α\alphaα 的设计,可实现符号在时频平面的线性排布,形成类似 chirp 信号 的频率随时间变化特性。
3.2 离散化过程
在离散时间系统中,采样周期为 Ts=1/FsT_s = 1/F_sTs=1/Fs,离散时间索引为 n=0,1,…,L−1n=0,1,\ldots,L-1n=0,1,…,L−1,其中 LLL 表示调制长度。离散化后的 AFDM 信号为:
x[n]=∑k=0N−1sk⋅g[n] ej2π(f0+αk)nTs x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} s_k \cdot g[n] \, e^{j2\pi \left(f_0 + \alpha k\right) nT_s} x[n]=k=0∑N−1sk⋅g[n]ej2π(f0+αk)nTs
若选用矩形脉冲 g[n]=1g[n] = 1g[n]=1,则信号构造更为简洁,适合数字基带实现。
3.3 信号构造矩阵表示
为了便于系统实现与分析,AFDM 调制可用矩阵形式表示为:
x=FAFDM⋅s \mathbf{x} = \mathbf{F}_{\text{AFDM}} \cdot \mathbf{s} x=FAFDM⋅s
其中:
- s=[s0,s1,…,sN−1]T\mathbf{s} = [s_0, s_1, \ldots, s_{N-1}]^{\mathrm{T}}s=[s0,s1,…,sN−1]T 为符号向量;
- x=[x0,x1,…,xL−1]T\mathbf{x} = [x_0, x_1, \ldots, x_{L-1}]^{\mathrm{T}}x=[x0,x1,…,xL−1]T 为调制信号向量;
- FAFDM\mathbf{F}_{\text{AFDM}}FAFDM 为 AFDM 调制矩阵,其元素由仿射映射规则确定。
3.4 子载波干扰与特性分析
由于 AFDM 波形引入了频率随时间的变化,其子载波间的干扰(ICI)和码间干扰(ISI)取决于仿射参数 α\alphaα 及信道时变特性。通过合理设计 α\alphaα 与脉冲成形函数 g(t)g(t)g(t),可以在时延-多普勒域中实现较好的稀疏化与抗干扰特性。
四、时延-多普勒域特性
AFDM 波形的设计目标之一,是在高时延扩展与高多普勒扩展场景下实现稳健传输。因此,研究其在时延-多普勒(Delay-Doppler, DD)域中的特性,对于理解其抗干扰机理至关重要。
4.1 信道建模
时变信道通常由若干多径分量组成,每一条路径由时延 τℓ\tau_\ellτℓ 和多普勒频移 νℓ\nu_\ellνℓ 表征。信道冲激响应可表示为:
h(t,τ)=∑ℓ=0Lp−1hℓ δ(τ−τℓ) ej2πνℓt h(t,\tau) = \sum_{\ell=0}^{L_p-1} h_\ell \, \delta(\tau - \tau_\ell) \, e^{j 2 \pi \nu_\ell t} h(t,τ)=ℓ=0∑Lp−1hℓδ(τ−τℓ)ej2πνℓt
其中:
- hℓh_\ellhℓ 为第 ℓ\ellℓ 条路径的复增益;
- LpL_pLp为多径数量;
- δ(⋅)\delta(\cdot)δ(⋅) 为 Dirac δ 函数。
4.2 AFDM 在时延-多普勒域的映射
与传统 OFDM 不同,AFDM 通过引入仿射频率调制,使符号在时频平面上形成线性变换关系,其信号在时延-多普勒域中的分布更为均匀。调制后的时延-多普勒域表示可通过二维傅里叶变换(2D-FT)近似得到:
X(τ,ν)=∫x(t) e−j2πνt δ(t−τ) dt X(\tau,\nu) = \int x(t) \, e^{-j 2\pi \nu t} \, \delta(t - \tau) \, dt X(τ,ν)=∫x(t)e−j2πνtδ(t−τ)dt
通过合适的仿射参数 α\alphaα 设计,AFDM 波形能在 DD 域内实现能量集中与路径稀疏化,从而减少子载波间干扰 (ICI)。
4.3 数学分析与性能指标
在时延-多普勒域下,AFDM 的优势主要体现在以下两点:
- 时延容忍度提升:由于信号具备类似 chirp 的线性调频特性,其能在较大时延扩展下维持良好的正交性。
- 多普勒抗扰性增强:频率随时间线性漂移,能抵消部分多普勒引起的频偏,从而减轻 ICI。
关键性能指标包括:
- 干扰抑制系数:衡量 ICI 与 ISI 的幅度;
- 信噪比 (SNR) 与误码率 (BER):在高速移动场景下评估系统可靠性;
- 能量集中度:衡量信号在 DD 域的稀疏性。
五、发射机与接收机框架
AFDM 波形不仅提出了一种新的调制方式,其系统架构也需配合时延-多普勒特性进行优化。本节介绍典型的 AFDM 发射机与接收机设计流程,并用矩阵表示进行抽象化描述。
5.1 发射机框架
AFDM 发射端的主要步骤包括:
- 符号映射:输入比特流通过调制器(如 QPSK、QAM)映射为复数符号序列 {sk}\{s_k\}{sk};
- AFDM 调制:依据仿射参数 α\alphaα 和初始频率 f0f_0f0,利用调制矩阵 FAFDM\mathbf{F}_{\text{AFDM}}FAFDM 将符号映射至时频平面;
- 脉冲成形与上变频:选择脉冲函数 g(t)g(t)g(t) 并上变频至射频载波;
- 发射:通过射频链路发送至无线信道。
数学表达为:
x=FAFDM⋅s \mathbf{x} = \mathbf{F}_{\text{AFDM}} \cdot \mathbf{s} x=FAFDM⋅s
其中 s\mathbf{s}s 为符号向量,x\mathbf{x}x 为发射信号。
5.2 接收机框架
AFDM 接收端的设计需考虑时延与多普勒扩展,其主要流程为:
- 信号接收与下变频:接收信号经模数转换与基带处理;
- 逆仿射解调:通过 FAFDM−1\mathbf{F}_{\text{AFDM}}^{-1}FAFDM−1或等效逆变换还原符号;
- 信道均衡:在时延-多普勒域估计信道冲激响应 h(t,τ)h(t,\tau)h(t,τ),并进行干扰抑制;
- 符号解映射与译码:恢复原始比特流。
接收过程可用矩阵形式描述为:
s^=W⋅y \hat{\mathbf{s}} = \mathbf{W} \cdot \mathbf{y} s^=W⋅y
其中 y\mathbf{y}y 为接收信号向量,W\mathbf{W}W 为均衡矩阵,s^\hat{\mathbf{s}}s^ 为恢复后的符号。
5.3 关键设计考虑
- 参数选择:仿射系数 (\alpha) 与子载波间隔需根据最大多普勒频移与时延扩展优化;
- 均衡策略:可采用最小均方误差(MMSE)、最小二乘(LS)等均衡器;
- 计算复杂度:通过快速傅里叶变换(FFT)或稀疏矩阵运算降低实现成本。
六、AFDM代码实现
本节给出 AFDM 的参考实现与端到端仿真流程。实现遵循前文推导的
S=L1HFHL2HX,X^=L2FL1S \mathbf{S}=\mathbf{L}_1^{\mathrm{H}}\mathbf{F}^{\mathrm{H}}\mathbf{L}_2^{\mathrm{H}}\mathbf{X},\quad \hat{\mathbf{X}}=\mathbf{L}_2\mathbf{F}\mathbf{L}_1\mathbf{S} S=L1HFHL2HX,X^=L2FL1S
其中 F\mathbf{F}F 为单位化 DFT,L1,L2\mathbf{L}_1,\mathbf{L}_2L1,L2 为由 chirp 相位构成的对角单位阵。
为提升效率,代码不显式构造对角矩阵,而是用向量逐列相乘实现。
6.1 AFDM调制
AFDM 调制的核心思想是通过 两级 chirp 矩阵与离散傅里叶变换(DFT) 对输入符号矩阵进行仿射频率映射,从而实现符号在时延-多普勒域的正交化排布。本节将详细介绍 AFDM 调制的实现步骤与 MATLAB 代码。
调制流程概述
- 输入符号矩阵:维度为
N × T
,其中N
为子载波数,T
为符号周期数。 - 仿射频率映射系数:通过参数
c1
与c2
决定 chirp 信号的调制特性。 - DFT 运算:实现符号从离散频域到时域的能量分布。
- 矩阵相乘:形成 AFDM 时域调制信号。
MATLAB 代码实现
function [S] = AFDMmod(X, c1, c2)
% S = AFDMmod(X, c1, c2) AFDM modulation with defined chirp frequencies
% Inputs:
% - X : N x T transmit symbol matrix
% - c1 : central digital frequency of first AFDM chirp
% - c2 : central digital frequency of second AFDM chirp
% Output:
% - S : N x T matrix of AFDM modulated samples
% 获取输入符号矩阵尺寸
sizeX = size(X);
N = sizeX(1);
% 生成两级chirp矩阵
L1 = diag(exp(-1j*2*pi*c1*((0:N-1).^2)));
L2 = diag(exp(-1j*2*pi*c2*((0:N-1).^2)));
% 构建单位化DFT矩阵
F = dftmtx(N)/sqrt(N);
% 计算AFDM调制矩阵
IA = L1' * F' * L2';
% 进行AFDM调制
S = IA * X;
end
6.2 AFDM解调
AFDM 解调是调制过程的逆过程,其核心目标是 恢复原始符号矩阵,并实现 时延-多普勒域到频域的映射逆变换。该过程主要依赖与调制相反的矩阵操作,从接收信号中提取出符号信息。
解调流程概述
- 接收信号矩阵:维度为
N × T
,包含经过信道与噪声影响的 AFDM 调制信号。 - 生成 chirp 矩阵与 DFT 矩阵:与调制过程保持一致。
- 构建解调矩阵:与 AFDM 调制矩阵互逆。
- 矩阵相乘:恢复出原始发射符号矩阵。
MATLAB 代码实现
function [X] = AFDMdemod(S, c1, c2)
% X = AFDMdemod(S, c1, c2) AFDM demodulation with defined chirp frequencies
% Inputs:
% - S : N x T sampled sequence of an AFDM modulated signal
% - c1 : central digital frequency of first AFDM chirp
% - c2 : central digital frequency of second AFDM chirp
% Output:
% - X : N x T matrix of AFDM demodulated samples
% 获取接收信号矩阵尺寸
sizeS = size(S);
N = sizeS(1);
% 生成两级chirp矩阵
L1 = diag(exp(-1j*2*pi*c1*((0:N-1).^2)));
L2 = diag(exp(-1j*2*pi*c2*((0:N-1).^2)));
% 构建单位化DFT矩阵
F = dftmtx(N)/sqrt(N);
% 计算AFDM解调矩阵
A = L2 * F * L1;
% 进行AFDM解调
X = A * S;
end
6.3 主程序
本节展示 AFDM 波形的完整主程序,包括系统参数配置、16-QAM 符号生成、AFDM 调制与解调、信道传输仿真以及星座图可视化。此部分将前两节的 AFDM 调制(6.1)与解调(6.2) 结合起来,实现端到端的仿真流程。
主程序流程
- 系统参数设置
- 载波频率、带宽、采样率、调制阶数、子载波数量等。
- 生成发送符号
- 采用 16-QAM 调制,确保单位平均功率。
- AFDM 调制
- 配置
c1
与c2
,并检查正交性条件。
- 配置
- 通过 AWGN 信道传输
- 添加高斯白噪声模拟信道影响。
- AFDM 解调
- 恢复原始符号矩阵。
- 结果可视化
- 绘制发送与解调后的星座图。
MATLAB 代码实现
close all; clear all; clc; % 关闭所有图形,清空工作区和命令窗口
%% 仿真参数设置
carrierFreq = 4e9; % 载波频率4 GHz
carrierWavelength = physconst("lightspeed")/carrierFreq; % 波长
bandwidth = 1e6; % 系统带宽 1 MHz
samplingFreq = 2 * bandwidth; % 采样频率 (2 倍带宽)
% 调制参数
bps = 4; % 每符号 4 比特
M = 2^bps; % 16-QAM
N = 2^8; % 子载波数量 256
NT = 4; % 符号周期数 4
%% 信道统计特性
maxDelay = 16; % 最大时延索引
maxDoppler = 2; % 最大归一化数字多普勒频移
% 计算最大无模糊距离
maxRange = (maxDelay / samplingFreq) / 2 * physconst("lightspeed");
% 计算最大无模糊速度
maxVel = (maxDoppler / N * samplingFreq) / 2 * carrierWavelength;
%% 生成发送符号
X_i = randi([0 M-1], N, NT); % 随机符号索引
X = qammod(X_i, M, "UnitAveragePower", true); % 16-QAM 调制
% 绘制发送星座图
figure;
scatter(real(X), imag(X), 'filled');
title('发射信号 16-QAM 星座图');
xlabel('In-phase (I)');
ylabel('Quadrature (Q)');
grid on; axis equal;
%% AFDM 调制
guardWidth = 4; % 保护间隔宽度
if (2 * (maxDoppler + guardWidth) * (maxDelay + 1)) + (maxDelay) > N
fprintf("AFDM 的正交性条件不满足!\n");
end
% AFDM 参数
c1_AFDM = (2 * (maxDoppler + guardWidth) + 1) / (2 * N);
c2_AFDM = 1 / (N^2 * pi);
% AFDM 调制
S_AFDM = AFDMmod(X, c1_AFDM, c2_AFDM);
figure;
plot(real(S_AFDM));
title('AFDM 时域信号');
%% AWGN 信道传输与解调
SNRdB = 30; % 信噪比 30 dB
S_received = awgn(S_AFDM, SNRdB); % 加性高斯白噪声信道
X_est_AFDM = AFDMdemod(S_received, c1_AFDM, c2_AFDM);
% 绘制解调后星座图
figure;
scatter(real(X_est_AFDM), imag(X_est_AFDM), 'filled');
title('AFDM 解调后 16-QAM 星座图');
xlabel('In-phase (I)');
ylabel('Quadrature (Q)');
grid on; axis equal;
6.4 结果展示
七、总结与展望
本文围绕 AFDM(Affine Frequency Division Multiplexing)波形,从理论基础出发,对其 数学建模、信号构造原理及时延-多普勒域特性 进行了系统解析,并介绍了典型的 发射机与接收机框架。主要结论如下:
- 理论基础明确:AFDM 通过引入仿射变换,实现了符号在时频平面的灵活映射,具备类似 chirp 信号的特性。
- 适用场景清晰:尤其适合高速移动、宽带时延扩展等复杂信道环境,在高多普勒频移下展现出优越的鲁棒性。
- 实现可行性良好:其调制与解调可用矩阵运算或基于 FFT 的快速算法实现,兼容现有通信系统。
7.1 未来发展方向
尽管 AFDM 展现出较大潜力,但仍存在若干有待深入研究的问题:
- 参数优化:仿射系数与子载波间隔的自适应设计,以匹配动态信道条件;
- 低复杂度接收算法:结合稀疏信道估计与快速均衡策略,降低硬件实现成本;
- 与 6G 技术融合:包括大规模 MIMO、智能反射表面(RIS)和卫星通信中的协同应用;
- 标准化与产业化:如何将 AFDM 纳入未来无线标准仍需进一步探索。
7.2 总结
AFDM 作为一种新型调制波形,在理论与实践上均展现出良好的前景。随着 6G 和高动态通信场景 的发展,AFDM 有望成为未来无线通信的重要候选波形,并推动新一代高鲁棒性传输方案的落地。
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