线性代数学习笔记——线性方程组解的判定与解法
定理一nnn元齐次线性方程组Am×nx=0A_{m\times n}x=0Am×nx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<nR(A)<nR(A)<n.当R(A)=nR(A)=nR(A)=n时(即AAA满秩)，只有零解.定理二nnn元非齐次线性方程组Am×nx=bA_{m\times n}x=bAm×nx=b有解的充分必要条件是系数矩阵AAA的秩等于增广矩阵B=(A
定理一
nnn元齐次线性方程组Am×nx=0A_{m\times n}x=0Am×nx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<nR(A)<nR(A)<n.当R(A)=nR(A)=nR(A)=n时(即AAA满秩)，只有零解.
定理二
nnn元非齐次线性方程组Am×nx=bA_{m\times n}x=bAm×nx=b有解的充分必要条件是系数矩阵AAA的秩等于增广矩阵B=(A,b)B=(A,b)B=(A,b)的秩.
小结
R(A)<R(B)⟺Ax=b无解R(A)=R(B)=n⟺Ax=b有唯一解R(A)=R(B)<n⟺Ax=b有无穷多解R(A)<R(B) \Longleftrightarrow Ax=b无解 \\ R(A)=R(B)=n\Longleftrightarrow Ax=b有唯一解 \\ R(A)=R(B)<n\Longleftrightarrow Ax=b有无穷多解R(A)<R(B)⟺Ax=b无解R(A)=R(B)=n⟺Ax=b有唯一解R(A)=R(B)<n⟺Ax=b有无穷多解
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
解法
Ax=b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b
A=[la11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann], x=[x1x2⋮xn], b=[b1b2⋮bn] \boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] ,\,\,\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] ,\,\,\boldsymbol{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎡la11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤,x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤,b=⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bn⎦⎥⎥⎥⎤
建立增广矩阵：
Aˉ=[Ab]=[a11a12⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮an1an2⋯annbn] \boldsymbol{\bar{A}}=\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{b}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}& b_2\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}& b_n\\ \end{matrix} \right] Aˉ=[Ab]=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮annb1b2⋮bn⎦⎥⎥⎥⎤
若能将增广矩阵Aˉ\boldsymbol{\bar{A}}Aˉ做初等行变换化为如下形式的梯形矩阵：
[1ξ11ξ2⋱⋮1ξn] \left[ \begin{matrix} 1& & & & \xi _1\\ & 1& & & \xi _2\\ & & \ddots& & \vdots\\ & & & 1& \xi _n\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡11⋱1ξ1ξ2⋮ξn⎦⎥⎥⎥⎤
则ξ1,ξ2,⋯ξn即为方程组的解 \text{则}\xi _1,\xi _2,\cdots \xi _n\text{即为方程组的解} 则ξ1,ξ2,⋯ξn即为方程组的解
技术共进，成长同行——讯飞AI开发者社区
更多推荐
3
0- 0
已为社区贡献1条内容
所有评论(0)