数学分析：集合的基本概念

集合基础：定义

定义 1（集合）：具有某种特定性质的，具体的或抽象的对象汇集的总体称为 集合（Set）。这些对象称为是集合的 元素。

符号表示：通常情况下，

• 用大写字母 $A,B,C,S,T,\cdots$ 等来表示 集合;
• 用小写字母 $x,y,z,\cdots$ 等来表示 集合中的 元素。

集合基础：表示法

枚举法

所谓 枚举法 就是将集合中的元素一一列举出来。

枚举法——有限集合

集合的元素个数有限时，很容易理解，就是将所有的元素一一列举出来。

示例：以光学中的三基色为元素的集合。
解：
{ 红 , 绿 , 蓝 } 。 \{\text{红},\text{绿},\text{蓝}\}。 {红,绿,蓝}。

示例：以 $a,b,c,d$ 为元素的集合。
解：
{ a , b , c , d } 。 \{a,b,c,d\}。 {a,b,c,d}。

枚举法——无限集合

枚举法不仅可以应用于元素个数有限的集合，也适用于一些“特殊的”无限集合。

具有明显 变化规律 的集合，也可以使用 枚举法 进行表示。

示例：正整数集合 ${\mathbb{N}}_{+}$。
解：
N + = { 1 , 2 , 3 , ⋯   , n ⋯   } 。 \mathbb{N}_{+}=\{1,2,3,\cdots,n\cdots\}。 N+​={1,2,3,⋯,n⋯}。

示例：整数集合 $\mathbb{Z}$。
解：
Z = { 0 , ± 1 , ± , 2 ± 3 , ⋯   , ± n , ⋯   } 。 \mathbb{Z} = \{0,\pm 1,\pm,2\pm 3,\cdots,\pm n,\cdots\}。 Z={0,±1,±,2±3,⋯,±n,⋯}。

描述法

设 $S$ 是具有某种某种性质 $P$ 的元素全体构成的集合，则可将该集合表示为
S = { x   ∣   x 具有性质 P } 。 S = \{x ~| ~ x \text{具有性质} P\}。 S={x ∣ x具有性质P}。

示例：由 $x^2=2$ 的根组成的集合。
解：
S = { x   ∣   x 2 = 2 } 。 S = \{x ~ | ~ x^2=2\}。 S={x ∣ x2=2}。

示例：有理数集合 $\mathbb{Q}$。
解：
Q = { x   ∣   x = p q , p ∈ Z  且  q ∈ N + } ， \mathbb{Q} = \{x ~ | ~ x = \frac{p}{q},p \in \mathbb{Z} ~ \text{且} ~ q \in \mathbb{N}_{+}\}， Q={x ∣ x=qp​,p∈Z 且 q∈N+​}，
或者表示为：
Q = { x   ∣   x = p q , p , q ∈ Z  且  q ≠ 0 } 。 \mathbb{Q} = \{x ~ | ~ x = \frac{p}{q},p,q \in \mathbb{Z} ~ \text{且} ~ q \ne 0\}。 Q={x ∣ x=qp​,p,q∈Z 且 q=0}。

集合基础：性质

性质 1（确定性）：对于任意的一个元素，它要么属于某一指定的集合，要么不属于该集合。

性质 2（互异性）：集合中的元素是相异的，即集合中不存在相同的元素。

性质 3（无序性）：集合中的元素之间不存在次序关系。

集合基础：关系

两个集合之间具有两种重要的关系：蕴含 与 相等。

蕴含

定义 2（蕴含）：设 $S,T$ 是两个集合，若集合 $S$ 中的任一元素都是集合 $T$ 中的元素，则称集合 $S$ 蕴含于 集合 $T$，或称集合 $T$ 包含 集合 $S$。即
$$x\in S\Rightarrow x\in T。$$

注：$\Rightarrow$ 称为 蕴含符号。

子集

定义 3（子集）：设 $S,T$ 为两个集合，若集合 $S$ 蕴含于 集合 $T$，则称集合 $S$ 为集合 $T$ 的 子集。记作 $S\subseteq T$。

真子集

定义 4（真子集）：设 $S,T$ 为两个集合，且集合 $S$ 是集合 $T$ 的子集，若存在
$$x\in T\text{且}x\notin S，$$
则称集合 $S$ 是集合 $T$ 的 真子集、

定理 $1$：集合的 蕴含关系 具有以下性质：
$(i)$ 反身性：对于任意的集合 $S$，都有 $S\subseteq S$；
$(ii)$ 传递性：对于任意的集合 $A,B,C$，若有 $A\subseteq B$，$B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。

相等

定义 5（集合相等）：设 $S,T$ 为两个集合，若集合 $S$ 与集合 $T$ 中的元素完全相同，则称集合 $S$ 与集合 $T$ 相等。

定义 5（集合相等）‘：设 $S,T$ 为两个集合，若集合 $S$ 是集合 $T$ 的子集的同时，集合 $T$ 也是集合 $S$ 的子集，则称集合 $S$ 与集合 $T$ 相等。即：
$$S\subseteq T\text{且}T\subseteq S\iff S=T。$$
注：$\iff$ 为等价符号，称为 “当且仅当”。

参考文献

[1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.