期望

蒟蒻在上个暑假才了解了一部分数学期望，今天来专门学习一些期望的基础概念与知识

定义

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

——百度百科如是说

离散型随机变量

在随机实验中，每一个随机试验可能的结果都对应一个数，这种对应称为一个随机变量。

随机变量是随机试验每一个可能的结果所组成的结果到实数集的映射

比如我们设一个最简单的随机试验：掷骰子，任何一个掷骰子总会出现一个结果，我们把结果写成数字（就是点数），为1,2，3,4，5,6，那么掷骰子的结果就是一个随机变量。

当随机变量的值可以一一列举出来时（比如掷骰子的结果列举为1,2，3，4,5，6），我们称它为离散型随机变量。

对于离散型随机变量的数学期望

离散型随机变量的一切可能的取值 与对应的概率 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望 (若该求和绝对收敛），记为$E(x)$ 。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

换句话说，假设有一个离散型随机变量$X$，取值为

$X_1,X_2,X_3\dots \dots \dots \dots X_n$

每一个取值对应的概率为
$p_1,p_2,p_3\dots \dots \dots \dots p_n$

那么数学期望就是

$E(x)=X_1\ast p_1+X_2\ast p_2+X_3\ast p_3+\dots \dots +X_n\ast p_n$

就是

$E(x)={\sum }_{k=1}^n{X}_k\ast p_k$

这就是离散型随机变量数学期望的表达式

对于连续型随机变量的数学期望，我还没有学积分，请见百度百科

一些基本性质

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。
以下是数学期望的重要性质：

第一条
$E(C)=(C)$
证明：无论如何取都只能取到C，平均数自然也是C

第二条
$E(CX)=C\ast E(X)$
证明：
$E(CX)$
$=c\ast X_1\ast p_1+c\ast X_2\ast p_2+c\ast X_3\ast p_3+\dots \dots +c\ast X_n\ast p_n$
$=c(X_1\ast p_1+X_2\ast p_2+X_3\ast p_3+\dots \dots +X_n\ast p_n)$
$=c\ast E(X)$

第三条
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
证明：
XY互相独立的时候，首先由乘法原理可知，取到值$(X_i,Y_j)$的概率为（$p_i{p}_j$）
那么显然有
$E（X+Y）$

$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(X_i+Y_j)(p_i{p}_j)$

$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{X}_i{p}_i{p}_j+{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{Y}_j{p}_i{p}_j$

$={\sum }_{j=1}^n{p}_j({\sum }_{i=1}^n{X}_i{p}_i)+{\sum }_{i=1}^n{p}_i({\sum }_{j=1}^n{Y}_j{p}_j)$

$={\sum }_{j=1}^n{p}_j\ast E(X)+{\sum }_{i=1}^n{p}_i\ast E(Y)$

$易得{\sum }_{j=1}^n{p}_j={\sum }_{i=1}^n{p}_i=1（所有随机事件的概率和为1）$
即为$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

第四条
当X和Y相互独立时， $E(XY)=E(X)\ast E(Y)$

证明过程与第三条相似

期望的线性递推

例题在

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