在数学中，符号 inf 是 “infimum” 的缩写，表示一个集合的下确界（或下界中最大的元素）。这是一个重要的概念，特别是在分析和优化领域。

Infimum 的定义

给定一个非空集合 ( $S$ )（通常是实数集的子集），如果 ( $m$ ) 满足以下两个条件：

1. ( m ) 是 ( S ) 的下界：对于所有 ( x ) 属于 ( S ) 的元素，都有 ( $m\le x$ )。
2. ( m ) 是所有下界中最大的：对于任何下界 ( l )（即 ( $l\le x$ ) 对于所有 ( $x\in S$ )），都有 ( $l\le m$ )。

那么，( m ) 就被称为 ( S ) 的 下确界 或 infimum，记作 ( $\inf S$ )。

示例

1. 有限集合：

   设 ( S={3,5,7}S = \{3, 5, 7\}S={3,5,7} )。集合 ( $S$ ) 的下界包括所有小于或等于3的数，例如2、1、0、-1等等。下界中最大的数是3，因此 ( $\inf S=3$ )。

2. 无限集合：

   设 ( $S=(0,1)$ )，即所有介于0和1之间的实数。任何负数或零都是 ( $S$ ) 的下界，但最大下界是0。因此，( $\inf S=0$ )。

3. 无界集合：

   设 ( S={x∈R∣x>1}S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}S={x∈R∣x>1} )。对于这个集合，1是下界，但不是最小的下界。任意小于1的数都可以是下界，但它们没有最大值，这种情况下我们可以认为 ( $\inf S=1$ )。

Infimum 和 Minimum 的关系

• Minimum（最小值）：若 ( S ) 的最小元素 ( m ) 存在，则 ( m ) 是 ( S ) 中的一个元素，并且 ( $m\le x$ ) 对于所有 ( $x\in S$ ) 成立。此时 ( $\inf S=\min S=m$ )。
• Infimum（下确界）：若 ( S ) 没有最小元素，但存在下确界 ( m )，则 ( m ) 不一定是 ( S ) 的元素，但仍满足 ( $m\le x$ ) 对于所有 ( $x\in S$ ) 成立。

常见符号

在数学中，infimum 通常用以下符号表示：

• ( $\inf S$ )
• ( ${\inf }_{x\in S}f(x)$ ) （表示函数 ( $f$ ) 在集合 ( $S$ ) 上的下确界）

总结

inf 在数学中表示一个集合的下确界，是该集合所有下界中的最大值。它在分析和优化等领域有广泛应用，帮助定义和计算函数的下界。