——一元二次方程——【核心为“根”：求根，根的多少/判别式，根与系数，根的正负，根的范围/区间】
一元二次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，“元”是指方程中所含未知数的个数，“次”是指方程中未知数最高的指数。——【类比记忆法：一元二次方程其实是一元二次函数的函数值为0时的情况】

根的求解/求根解法：
（1）十字相乘因式分解法：先用十字相乘进行分解，分解后可以求出方程的根。——【首选方法】
（2）求根公式法：如果无法用十字相乘分解，可以套用求根公式：$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$——
【根判别式$△$ $⟹$ 求根公式：$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$】
（3）图像法：二次函数与x轴的交点即为对应方程的根。

根的多少/判别式：
$△=b^2-4ac$称为一元二次方程根的判别式
当$△＞0$时，方程有两个不相等的实根；当$△=0$时，方程有两个相等的实根；当$△＜0$时，方程没有实根。
方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$有两个不相等的实数根 $⟺$ 函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴有两个交点 $⟺$ $△＞0$。——【要$a\ne 0$&$△＞0$】
方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$有两个相等的实数根 $⟺$ 函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴有一个交点 $⟺$ $△=0$。——【要$a\ne 0$&$△=0$】
方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$没有实数根 $⟺$ 函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴没有交点 $⟺$ $△＜0$。——【要$a\ne 0$&$△＜0$】
——【 $△$判别式
$⟹$ $b^2-4ac$
$⟹$ $△$＞0，方程有两根，即求根公式$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，图像抛物线与x轴有两个交点 $⟹$ 韦达定理
$⟹$ $△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，图像抛物线与x轴有一个交点
$⟹$ $△$＜0，方程无根，图像抛物线与x轴没有交点
$⟹$ $y$的最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝$\frac{－△}{4a}$
$⟹$ $△$＞0，图像的弦长公式为$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ $△$＞0，图像的顶点△面积为$\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$】

判别式$△$的不同表达：
（1）$△=0$
A.方程有两个相等的实根
B.函数抛物线与x轴有且仅有一个交点（只有一个公共点）
C.函数抛物线与x轴相切
D.函数抛物线在x轴上的截距为0
E.函数是一个完全平方式
F.方程具有重实根
G.直线与曲线（抛物线）有一个交点
H.存在x的值使得$a{x}^2+bx+c=0$成立
（2）$△＞0$
A.方程有两个不相等的实根
B.函数抛物线与x轴相交
C.函数抛物线与x轴有两个交点
D.方程有两个零点
E.直线与曲线（抛物线）有两个交点
（3）$△＜0$
A.方程没有实数根
B.函数抛物线与x轴没有交点
C.函数抛物线与x轴相离
D.函数抛物线在轴上的截距不存在
E.直线与曲线（抛物线）没有交点
F.函数没有零点

判别式$△$的常见思维误区：
A.方程有两个实数根
B.方程有两个正根
C.方程有两个负根
D.方程有根
这四句话的意思是判别式大于等于零，而非大于零，因为存在两个相等的根和两个不相等的根两种情况，记住：一元二次方程永远是有两个根的。

根的关系/根与系数关系/韦达定理：——【利用韦达定理求最值、求范围、计算出答案不唯一时，一定要验证判别式】
$x_1,x_2$是方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0且△\ge 0)$的两根 $⟹$ $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$，$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{b}{c}$。
一元三次方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的韦达定理$⟹$ $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$，$x_1{x}_3+x_2{x}_3+x_1{x}_3=\frac{c}{a}$
韦达定理使用前提：——【条件充分性问题判断】
（1）方程$a{x}^2+bx+c=0$的二次系数$a\ne 0$；
（2）一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$根的判别式$△=b^2-4ac\ge 0$
——【 求根公式：
$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$ 【$|x_1-x_2|$中文表达：方程两根之差的绝对值=方程两根之间的距离=函数抛物线在x轴上的截距=函数抛物线截x轴的长度=函数抛物线与两坐标轴围成的三角形的底边长】
$⟹$ 顶点y为求根公式的另一半，上面开方下面乘2=$-\frac{△}{4a}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$】

PS：韦达定理是由求根公式推导而来，因此使用韦达定理求解参数值或取值范围要满足上述两个条件。
韦达定理拓展/根的高次幂：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=-\frac{b}{c}$
$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}$
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{{x_1+x_2}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$——【$|x_1-x_2|$中文表达：方程两根之差的绝对值=方程两根之间的距离=函数抛物线在x轴上的截距=函数抛物线截x轴的长度=函数抛物线与两坐标轴围成的三角形的底边长】
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}$
$x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=(x_1+x_2)[(x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2]$
根的高次幂问题：先通过迭代将次法，将所求代数式降低次数，再利用韦达定理求值。——【遇到复杂的整式或者分式时，将其分解为韦达定理能用的式子为止。】

根的符号/正负：——【两看：根个数看△，正负看韦达定理/abc符号】——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
（1）方程有两个正根——【等价于：ab异号、ac同号且△≥0】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2＞0& \\ x_1{x}_2＞0& \\ △\ge 0& \text{两个不等正根为△＞0}\end{array}$$
（2）方程有两个负根——【等价于：a、b、c同号且△≥0】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2＜0& \\ x_1{x}_2＞0& \\ △\ge 0& \text{两个不等正根为△＞0}\end{array}$$
（3）方程有一正一负根——【等价为：a、c异号=ac＜0】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot x_2＜0& \\ △＞0& \text{ac＜0此时必有△＞0，此条件可不写}\end{array}$$
若再要求$|正根|＞|负根|$，有——【等价为：a、c异号；a、b异号】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot x_2＜0& \text{⟺ac＜0}\\ x_1+x_2＞0& \text{⟺ab＜0}\end{array}$$
若再要求$|负根|＞|正根|$，有——【等价为：a、c异号；a、b同号】$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot x_2＜0& \text{⟺ac＜0}\\ x_1+x_2＜0& \text{⟺ab＞0}\end{array}$$

根的区间：——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
——【根的区间 $⟹$ 端点
$⟹$ 两根位于不同区间，仅看四个端点；
$⟹$ 两根位于相同区间，需看两点=顶点+端点】
若一元二次方程的两根分布在某一特定区间内，则把一元二次方程转化为一元二次函数，结合一元二次函数的图像的抛物线来解决问题。即设一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$为$f(x)$，根为$x_1,x_2$。为了讨论方便，我们只讨论$a＞0$的情况，考试时，如果a的符号不定，则需要先讨论开口方向。
（1）两根位于同一区间——【需看“两点”，即看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看△）、看端点（根所分布区间的端点）】——【同一区间反而更不自由，相比不同区间，少了两个端点，所以找了对称轴和△来帮忙】
① 若$a＞0$，两根都大于$m$，则有
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ -\frac{b}{2a}＞m& \text{(看顶点)}\\ △\ge 0& \text{(定相交)}\end{array}$$
②若$a＞0$，两根都小于$m$，则有
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ -\frac{b}{2a}＜m& \text{(看顶点)}\\ △\ge 0& \text{(定相交)}\end{array}$$
③ 若$a＞0$，两根都在$(m,n)$上，则有
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ f(n)＞0& \text{(看端点)}\\ m＜-\frac{b}{2a}＜n& \text{(看顶点，只依赖端点，会出现顶点不在区间内，在区间左边，也可以满足上述两端点的要求，所以需要对称轴进行限制)}\\ △\ge 0& \text{(图像可能不与x轴相交，所以需要△进行限制)}\end{array}$$

（2）两根位于不同区间——【仅看端点（根所分布区间的端点）】——【根的区间需要端点，四个端点不需要顶点】
① 若$a>0$，方程的一根大于$k$，另外一根小于$k$，即$x_1＜k＜x_2$，则有$f(k)＜0$(看端点)。
② 若$a＞0$，一根在$(m,n)$内，另外一根在$(a,b)$内则有：
$$\{\begin{array}{ll}f(m)＞0& \\ f(n)＜0& \text{(看端点)}\\ f(a)＜0& \\ f(b)＞0& \end{array}$$
or 精简为：
$$\{\begin{array}{l}f(m)\cdot f(n)＜0\\ f(a)\cdot f(b)＜0\end{array}$$
说明：此处需要将方程转换成函数，图形结合进行理解，即结合一元二次函数的图像抛物线解决问题。
技巧：画出题干条件中的图像，然后根据区间，再讨论端点函数值与零的关系，列不等式求解。
根在区间上的存在性：如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的图像是一条连续不断的曲线，并且满足$f(a)\cdot f(b)<0$，则函数$f(x)$在区间$(a,b)$内有零点。

根的有理根：——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
$a,b,c$均为有理数，$△=k^2$（k为有理数）
有理系数一元二次方程有两个有理根的条件为：$△$为完全平方

根的整数根：——【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
$a,b,c$均为整数，$$\{\begin{array}{ll}△为完全平方数& \\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}\in Z& \text{即a是b,c的公约数}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\in Z& \end{array}$$

根的倒数根：——【理解记忆法：由韦达定理可推导】
若方程$a{x}^2+bx+c=0$有两根$e，f(其中a\ne 0，c\ne 0)$，则有
（1）方程$a{x}^2-bx+c=0$的两根为$-e，-f$；
（2）方程$c{x}^2+bx+a=0$的两根为$\frac{1}{e}，\frac{1}{f}$；
（3）方程$c{x}^2-bx+a=0$的两根为$-\frac{1}{e}，-\frac{1}{f}$。

根 y的最值：
若已知方程$a{x}^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$，则$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$的最值为$f(\frac{x_1+x_2}{2})$。

四次方程或绝对值方程的根：
判断形如$a|x{|}^2+b|x|+c=0(a\ne 0)$或者$a{x}^4+b{x}^2+c=0(a\ne 0)$的方程根的情况（相等的根算作1个）。
解题方法：
换元法，令$t=|x|$或$t=x^2$，则原式化为$a{t}^2＋bt+c=0(a\ne 0)$，其中$t\ge 0$，则有：
（1）关于x的方程有4个不等实数 $⟺$ 关于t的方程有2个不等正根；
（2）关于x的方程有3个不等实根 $⟺$ 关于t的方程有1个根是0，另外1个根是正数；
（3）关于x的方程有2个不等实根 $⟺$ 关于t的方程有2个相等正根，或者有1个正根1个负根(负根应舍去)；
（4）关于x的方程有1个实根 $⟺$ 关于t的方程的根为0，或者1个根为0，另外一个根是负数(应舍去)；
（5）关于x的方程无实根 $⟺$ 关于t的方程无实根，或者根为负数(应舍去)。
这样，就转化成了正负根问题。

根的判定：——【根的判定：有无实根的判定、正负根的判定、整数跟的判定、公共根问题】
① 有无实根的判定：利用$△=b^2-4ac$和0作比较。
② 正负根的判定：利用$△=b^2-4ac$和韦达定理双重判定。
③ 整数根的判定：先利用十字相乘因式分解求根，再利用整数的定义判定。
④ 公共根问题：先设出公共根，再代人题干表达式求解。