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前言

如果只打算看和机器学习有关的变分法，只需要看到小结这一章即可，后面的内容可以不用看。

一个概率分布问题

介绍变分法之前，先抛出一个和机器学习有关的概率问题：
一个一维分布$p(x)$：

1. 若已知期望为$\mu$，方差为${\sigma }^2$，熵最大的情况下$p$是什么分布？
2. 不要问题1的条件，换成若已知随机变量的取值范围在$(a,b)$，熵最大的情况下$p$是什么分布？

对于问题1，可形式化为
$$\begin{array}{rl}\underset{p}{\max }& {\int }_{-\infty }^{\infty }-p(x)\ln p(x)dx\\ s.t.& {\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1\\ & {\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx=\mu \\ & {\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx={\sigma }^2\end{array}$$

对于问题2，可形式化为
$$\begin{array}{rl}\underset{p}{\max }& {\int }_a^b-p(x)\ln p(x)dx\\ s.t.& {\int }_a^{b}p(x)dx=1\end{array}$$

仔细观察之后，会发现上述问题并不好做，似乎和我们以前遇到的优化问题不同，区别在于优化目标$p$是一个函数，而不是一个或几个标量

为了解决这种优化问题，我们需要引入新的工具——变分法

变分法

• 泛函：首先引入泛函的概念，泛函指定义域为函数集合，值域为实数的“函数”，即函数的函数。而变分法则是处理泛函的数学领域（泛函分析则是研究对象主要为函数构成的函数空间的数学领域）
• 历史：变分法最早是为了解决最速降线问题而设计的，在理论物理当中应用非常多

预备定理

如果${\int }_a^{b}M(x)\eta (x)dx=0$，$M$在$(a,b)$上连续，$\eta$为任意函数，$\eta (a)=0,\eta (b)=0$，那么$\forall x\in (a,b),M(x)=0$.
证明：
令$\eta (x)=-M(x)(x-a)(x-b)$，则$M(x)\eta (x)=M(x{)}^2[-(x-a)(x-b)]\ge 0$，所以$M(x)=0$.

类似的代数证法，可以扩展到多变量问题，若${\int }_a^b[M(x)\eta (x)+N(x)\xi (x)]dx=0$，$\eta ,\xi$为任意函数，且在$a,b$两点为0，则$M(x)=0,N(x)=0$.

这个定理先放在这，在推导Euler方程最后一步时会用

优化问题与函数集合

给定一个关于函数$\bar{y}(x)$的待求优化问题
$$\underset{\bar{y}}{\min }{\int }_{x_1}^{x_2}F(x,\bar{y},{\bar{y}}^{\prime })dx$$
而且我们假定$\bar{y}(x_1)$和$\bar{y}(x_2)$已知，
如果$y(x)$是待求最优解，则函数$\bar{y}$可以描述为
$$\bar{y}(x)=y(x)+ϵ\eta (x)$$
其中$\eta$是任意函数，满足$\eta (x_1)=0,\eta (x_2)=0$（很重要，后面要用），$\eta$可以看作是对$F$的一个扰动，$ϵ$是一个实数，通过改变$\eta$和$ϵ$，可以形成关于$\bar{y}$的函数族。
而且$\bar{y}$的一阶导数为
$${\bar{y}}^{\prime }=y^{\prime }+ϵ{\eta }^{\prime }$$
所以原问题的目标函数可以写为
$${\int }_{x_1}^{x_2}F(x,y+ϵ\eta ,y^{\prime }+ϵ{\eta }^{\prime })dx\text{\hspace{1em}(1)}$$

Euler方程第一形式

注意式(1)中$y$和$\eta$都是关于$x$的函数，所以式(1)的积分结果是一个关于$ϵ$的函数，记为$I(ϵ)$。
一方面，观察到当$ϵ\to 0$时，无论$\eta$取什么，都有$\bar{y}\to y$. 也即，无论$\eta$取什么，$ϵ=0$都是$I(ϵ)$极小值点，所以
$$\frac{dI}{dϵ}{|}_{ϵ=0}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
另一方面，
$$\frac{dI}{dϵ}={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial ϵ}dx\text{\hspace{1em}(3)}$$
对于$\frac{\partial F}{\partial ϵ}$，记$u=y+ϵ\eta$，$v=y^{\prime }+ϵ{\eta }^{\prime }$，则
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial F}{\partial ϵ}& =\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial ϵ}+\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial ϵ}+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial ϵ}\\ & =\frac{\partial F}{\partial u}\eta +\frac{\partial F}{\partial v}{\eta }^{\prime }\end{array}$$
带回式(3)得
$$\frac{dI}{dϵ}={\int }_{x_1}^{x_2}(\frac{\partial F}{\partial u}\eta +\frac{\partial F}{\partial v}{\eta }^{\prime })dx$$
当$ϵ=0$时，$u=y,v=y^{\prime }$，所以
$$\frac{dI}{dϵ}{|}_{ϵ=0}={\int }_{x_1}^{x_2}(\frac{\partial F}{\partial y}\eta +\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{\eta }^{\prime })dx\text{\hspace{1em}(4)}$$
观察第二项，由分步积分公式$\int udv=uv-\int vdu$可得
$${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{\eta }^{\prime }dx=\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\eta {|}_{x_1}^{x_2}-\int \eta d(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})\text{\hspace{1em}(5)}$$
因为$\eta (x_1)=0,\eta (x_2)=0$，所以$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\eta {|}_{x_1}^{x_2}=0$，代入式(5)得
$${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{\eta }^{\prime }dx=-\int \eta \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})dx\text{\hspace{1em}(6)}$$
把式(6)代入式(4)得
$$\begin{array}{rl}\frac{dI}{dϵ}{|}_{ϵ=0}& ={\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial F}{\partial y}\eta -\eta \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})]dx\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})]\eta dx\end{array}$$
注意$\eta$是任意函数，且$\eta (a)=0,\eta (b)=0$，又式(2)可得${\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})]\eta dx=0$，所以由预备定理
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
式(7)即为Euler方程第一形式，也就是说如果$ϵ=0$是$I$的极值，那么就必须满足式(7).
当$F$不是$y^{\prime }$的函数，仅为$F(x,y)$时，式(7)简化为$\frac{\partial F}{\partial y}=0$.

概率分布问题的解决

至此，我们就已经可以解决一开始提出的概率分布问题了。

问题1的解决

把形式化再抄一遍，并把目标函数由$\max$换成$\min$：
$$\begin{array}{rl}\underset{p}{\min }& {\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)\ln p(x)dx\\ s.t.& {\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1\\ & {\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx=\mu \\ & {\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx={\sigma }^2\end{array}$$
用拉格朗日乘子法把该问题转化为无约束问题：
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)\ln p(x)dx+{\lambda }_1({\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx-1)+{\lambda }_2({\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx-\mu )+{\lambda }_3({\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx-{\sigma }^2)\\ =& {\int }_{-\infty }^{\infty }[p(x)\ln p(x)+{\lambda }_{1}p(x)+{\lambda }_{2}xp(x)+{\lambda }_3(x-\mu {)}^{2}p(x)+C(x,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)]dx\end{array}$$
其中$C$满足${\int }_{-\infty }^{\infty }C(x,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)dx=-{\lambda }_1-{\lambda }_2\mu -{\lambda }_3{\sigma }^2$，并看作是一个与$p$无关的函数。
我们假定$p(x)$在无穷远处为0，这样就满足了上述介绍的优化问题的形式，
记$F(x,p)=p\ln p+{\lambda }_{1}p+{\lambda }_{2}xp+{\lambda }_3(x-\mu {)}^{2}p+C$，记最优解为$p^{\ast }$，则由Euler方程第一形式，可得
$$0=\frac{\partial F}{\partial p^{\ast }}=\ln p+1+{\lambda }_1+{\lambda }_{2}x+{\lambda }_3(x-\mu {)}^2$$
即
p = e x p { − 1 − λ 1 − λ 2 x − λ 3 ( x − μ ) 2 } (8) p=exp\{-1-\lambda_1-\lambda_2 x - \lambda_3(x-\mu)^2\} \tag{8} p=exp{−1−λ1​−λ2​x−λ3​(x−μ)2}(8)
注意这已经是一个高斯函数的形式！
又由三个限制方程
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1\\ & {\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx=\mu \\ & {\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx={\sigma }^2\end{array}$$
可以从中解出${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，带回式(8)得
p ∗ ( x ) = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 2 e x p { − ( x − μ ) 2 2 σ 2 } p^*(x)=\frac{1}{(2\pi \sigma^2)^\frac{1}{2}}exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\} p∗(x)=(2πσ2)21​1​exp{−2σ2(x−μ)2​}
所以在给定均值和方差的前提下，最大熵对应的分布是高斯分布。

问题2的解决

把形式化再抄一遍，并把目标函数由$\max$换成$\min$：
$$\begin{array}{rl}\underset{p}{\min }& {\int }_a^{b}p(x)\ln p(x)dx\\ s.t.& {\int }_a^{b}p(x)dx=1\end{array}$$
同问题1，先用拉格朗日乘子法转化成无约束问题：
$$\begin{array}{rl}& {\int }_a^{b}p(x)\ln p(x)dx+{\lambda }_1({\int }_a^{b}p(x)dx-1)\\ =& {\int }_a^b[p(x)\ln p(x)+{\lambda }_{1}p(x)-\frac{{\lambda }_1}{b-a}]dx\end{array}$$
我们假定$p(x)$在$a,b$两点概率为0，这样就满足了上述介绍的优化问题的形式，
记$F(x,p)=p\ln p+{\lambda }_{1}p-\frac{{\lambda }_1}{b-a}$，记最优解为$p^{\ast }$，则由Euler方程第一形式，可得
$$0=\frac{\partial F}{\partial p^{\ast }}=\ln p+1+{\lambda }_1$$
即
p ∗ = e x p { − 1 − λ 1 } (9) p^*=exp\{-1-\lambda_1\} \tag{9} p∗=exp{−1−λ1​}(9)
注意，这已经是一个均匀分布的形式！
又由限制方程
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1\end{array}$$
可以从中解出${\lambda }_1$，带回式(9)得
$$p^{\ast }(x)=\frac{1}{b-a}$$
所以在有限区间内，最大熵对应的分布是均匀分布。此时无需均值和方差的约束。

小结

• 变分法在机器学习当中是一个很好用的技巧，其实机器学习当中输入为函数，输出为实数，这样的泛函例子并不少见，例如各种散度divergence——衡量了两个分布之间的差异性，以分布作为变量的泛函又引入了变分推断当中，例如变分自编码器
• 机器学习当中遇到的大多数变分问题都较为简单，往往被积函数$F$和待求函数$y$的导数是无关的，也即只需要满足Euler方程中$\frac{\partial F}{\partial y}=0$就可以
• 后文将继续介绍完整的变分法理论，后续理论在机器学习当中的使用较为罕见，（但是也有用处，比如泊松图像融合），看到这里就可以提前退场了，如果看的很爽，那么就跟我继续看下去吧，2333

变分法（后续）

Euler方程第二形式

注意到
$$\begin{array}{rl}\frac{dF}{dx}(x,y,y^{\prime })& =\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\frac{d{y}^{\prime }}{dx}\\ & =\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}{y}^{\prime }+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{y}^{\prime \prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
因为
$$\frac{d}{dx}(y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})=y^{\prime \prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}+y^{\prime }\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})\text{\hspace{1em}(11)}$$
把式(10)等号右侧第三项带入式(11)可得
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})& =[\frac{dF}{dx}(x,y,y^{\prime })-\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial y}{y}^{\prime }]+y^{\prime }\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})\\ & =\frac{dF}{dx}(x,y,y^{\prime })-\frac{\partial F}{\partial x}-y^{\prime }[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})]\end{array}$$
注意到$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})$为Euler方程的第一种形式，所以上式继续化简为
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}(y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})=\frac{dF}{dx}(x,y,y^{\prime })-\frac{\partial F}{\partial x}\end{array}$$
即
$$\begin{array}{r}\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dx}(F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})=0\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
式(12)即为Euler方程第二形式，注意如果$F$不显含$x$，那么$\frac{\partial F}{\partial x}=0$，则有$F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=C$. 在这种情况下，第二形式非常方便。

变分算子

$$\bar{y}=y+ϵ\eta (x)=y+\delta y$$
其中，$\delta y$就称作对$y$的变分。

贴参考文献[1]的一张图，说明变分和微分的区别

• 微分：当$x$变化时，$y$的变化
• 变分：$x$不变，人为的对$y$加扰动

一般我们认为自变量的变分为0（或者说不能变分），例如$y(x)$，认为$\delta x=0$，因为在自变量上加扰动没有意义，自变量这个时候应该看作是一个“标准”，其他量以这些“标准”为依据。

变分算子和微分算子的可交换性

$$\frac{d}{dx}\delta y=\frac{d}{dx}ϵ\eta (x)=ϵ\frac{d}{dx}\eta (x)=ϵ{\eta }^{\prime }$$
另一方面
$$\delta \frac{d}{dx}y=\overline{y^{\prime }}-y^{\prime }=ϵ{\eta }^{\prime }$$
所以，变分算子和微分算子的顺序可以交换。

变分算子和积分算子的可交换性

$$\begin{array}{rl}\delta \int F(x)dx& =\overline{\int F(x)dx}-\int F(x)dx=\int \bar{F}(x)dx-\int F(x)dx\\ & =\int [\bar{F}(x)-F(x)]dx=\int \delta F(x)dx\end{array}$$
所以，变分算子和积分算子的顺序可以交换。

函数与泛函的变分算子

对于$F(x,y,z)$
$$\delta F=\frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial z}\delta z$$
上式子说明了对$x,y,z$的扰动，是如何产生对$F$的扰动的
除式的变分公式：
$$\delta (\frac{f}{g})=\frac{g\delta f-f\delta g}{g^2}$$

多函数的变分

对于多函数的问题，先以两个函数为例：
$$\underset{\bar{f},\bar{g}}{\min }I={\int }_{x_1}^{x_2}F(x,\bar{f},\bar{g},{\bar{f}}^{\prime },{\bar{g}}^{\prime })dx$$
类似单变量的方法令最优解为$f,g$，则有
$$\begin{gathered} \bar{f}=f+ϵ\eta \\ \bar{g}=g+ϵ\xi \end{gathered}$$
一方面得到
$$\frac{dI(ϵ)}{dϵ}{|}_{ϵ=0}=0$$
另一方面
$$\frac{dI(ϵ)}{dϵ}{|}_{ϵ=0}={\int }_{x_1}^{x_2}(F_f\eta +F_g\xi +F_{f^{\prime }}{\eta }^{\prime }+F_{g^{\prime }}{\xi }^{\prime })dx$$
用分布及分公式可得
$$\begin{array}{rl}{\int }_{x_1}^{x_2}{F}_{f^{\prime }}{\eta }^{\prime }dx& =F_{f^{\prime }}\eta {|}_{x_1}^{x2}-{\int }_{x_1}^{x_2}\eta d{F}_{f^{\prime }}\\ & =-{\int }_{x_1}^{x_2}\eta \frac{d}{dx}(F_{f^{\prime }})dx\end{array}$$
$g$做类似的处理，带回得
$$\frac{dI(ϵ)}{dϵ}{|}_{ϵ=0}={\int }_{x_1}^{x_2}[(F_f-\frac{d}{dx}{F}_{f^{\prime }})]\eta +[(F_g-\frac{d}{dx}{F}_{g^{\prime }})]\xi dx$$
由预备定理得
$$\begin{gathered} F_f-\frac{d}{dx}{F}_{f^{\prime }}=0 \\ {F}_g-\frac{d}{dx}{F}_{g^{\prime }}=0 \end{gathered}$$
上式为多变量得Euler方程，可以看到它与单变量得形式是一致的。对于更多变量得情况，推导结果类似。

双变量单函数的多重积分变分

记
$$I(ϵ)={\iint }_{D}F(x_1,x_2,\bar{y},\frac{\partial \bar{y}}{\partial x_1},\frac{\partial \bar{y}}{\partial x_2})d{x}_{1}d{x}_2$$
则有
$$\begin{array}{rl}\frac{dI}{dϵ}{|}_{ϵ=0}& ={\iint }_D[\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial ϵ}+\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_1})}\frac{\partial }{\partial ϵ}(\frac{\partial y}{\partial x_1})+\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_2})}\frac{\partial }{\partial ϵ}(\frac{\partial y}{\partial x_2})]d{x}_{1}d{x}_2\\ & ={\iint }_D[\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial ϵ}+\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_1})}\frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{\partial y}{\partial ϵ})+\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_2})}\frac{\partial }{\partial x_2}(\frac{\partial y}{\partial ϵ})]d{x}_{1}d{x}_2\end{array}$$

首先给出格林公式
$${\iint }_D[\frac{\partial P}{\partial x_1}+\frac{\partial Q}{\partial x_2}]d{x}_{1}d{x}_2={\int }_{C}Pd{x}_2-Qd{x}_1\text{\hspace{1em}(13)}$$
如果令
$$P(x_1,x_2)=\Phi (x_1,x_2)A(x_1,x_2)Q(x_1,x_2)=\Phi (x_1,x_2)B(x_1,x_2)$$
带回式(13)得
$${\iint }_D[A\frac{\partial \Phi }{\partial x_1}+B\frac{\partial \Phi }{\partial x_2}]d{x}_{1}d{x}_2=-{\iint }_D(\frac{\partial A}{\partial x_1}+\frac{\partial B}{\partial x_2})\Phi d{x}_{1}d{x}_2+{\int }_C(Ad{x}_2-Bd{x}_1)\Phi \text{\hspace{1em}(14)}$$

所以，如果令
$$\Phi =\frac{\partial y}{\partial ϵ}A=\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_1})}B=\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_2})}$$
即$\bar{y}=y+ϵ\Phi$，那么
$$\begin{array}{rl}\frac{dI}{dϵ}& ={\iint }_D[\frac{\partial F}{\partial y}\Phi +A\frac{\partial }{\partial x_1}\Phi +B\frac{\partial }{\partial x_2}\Phi ]d{x}_{1}d{x}_2\end{array}$$
把后两项用格林公式(14)替换，得到
$$\begin{array}{rl}\frac{dI}{dϵ}& ={\iint }_D[\frac{\partial F}{\partial y}-(\frac{\partial A}{\partial x_1}+\frac{\partial B}{\partial x_2})]\Phi d{x}_{1}d{x}_2\end{array}$$
注意式(14)中的线积分${\int }_C(Ad{x}_2-Bd{x}_1)\Phi =0$，所以线积分直接舍去了，这里非常厉害！！！
线积分为0的原因在于$\Phi$在边界一圈为0，类似于单变量中两个端点的$\eta =0$.
由预备定理
$$\frac{\partial F}{\partial y}-(\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_1})}+\frac{\partial }{\partial x_2}\frac{\partial F}{\partial (\frac{\partial y}{\partial x_2})})=0$$
上式即为双变量函数下的Euler方程，该式和单变量的形式其实是类似的。

参考文献
[1] 变分法 https://www.youtube.com/playlist?list=PL090BE404EFE679E9. B站上也有相同的资源，但是不全
[2] C M. Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning Bishop 附录D