神经网络最基础部分是由神经元组成，一个神经元相当于是一个一次函数，y=ax+b
即在已知x，和y情况下，怎么使用神经网络求解a和b

如下是使用excel求解的神经网络，可以方便理解神经网络运行原理
excel BP神经网络下载地址

0 excel数据及任务

• 构造了如下数据，x0,x1,x2和y_true。其中x0,x1,x2对应真实wTrue(w0,w1,w2)如表格所示（表格数据都可以修改，公式已经编辑好），
  即 y=x0 * wt0 + x1 * wt1 + x2 * wt2
• 任务；需要使用神经网络计算出真实的w

1 神经网络求解步骤：

已知 x 和y

• 1 随机初始化wi
  初始化w全为0, w00=0,w01=0,w02=0 （为了简化，只考虑w,不考虑b）
• 2 将x带入 a和b参数函数，得到y的预测值y_pred
  y_pred=x0w00+x1w01+x2*w02
• 3 将预测y_pred与真实值y进行对比，构建损失函数（刚开始，随机的w误差肯定很大）
  loss= $(y\_pred-y\_true{)}^2$
• 4 对损失函数求导，使用梯度下降更新参数w.
  导数
  w00导数：dy_dw00: 2*(y_pred-y_true)x0
  w01导数：dy_dw01: 2(y_pred-y_true)x1
  w02导数：dy_dw02: 2(y_pred-y_true)*x2
  步长：lr=0.001
  新的 w00= w00-lr * dy_dw00
  新的 w01= w01-lr * dy_dw01
  新的 w02= w02-lr * dy_dw01
• 5 循环上面2～4步，直到收敛

2 反向传播公式推导

上面第3步，损失函数为loss= $(y\_pred-y\_true{)}^2$
其中w00,w01,w02倒数如下。导数公式证明见2.1或者2.2小节，其中用到了$x^2$ 的导数为2x，$x^2$的倒数证明见第4小节。

2.1 根据链式法则求导

若链式法则求导无法理解见 2.2节直接求导
loss= $(y\_pred-y\_true{)}^2$ 对w的导数为
$\frac{\partial (y\_pred-y\_true{)}^2}{\partial w0}=2(y\_pred-y\_true)\ast x0$
$\frac{\partial (y\_pred-y\_true{)}^2}{\partial w1}=2(y\_pred-y\_true)\ast x1$
$\frac{\partial (y\_pred-y\_true{)}^2}{\partial w2}=2(y\_pred-y\_true)\ast x2$

2.2 直接求导

若不知道x^2的倒数，见第4小节

• loss展开
  y_pred=x0w00+x1w01+x2*w02
  $(y\_pred-y\_true{)}^2=(x0\ast w00+x1\ast w01+x2\ast w02-y\_true{)}^2$
• 如上，如果对w00求导，则其他项可以看成常数
  $(y\_pred-y\_true{)}^2=(x0\ast w00{)}^2+2(x0\ast w00)\ast (x1\ast w01+x2\ast w02-y\_true)+(x1\ast w01+x2\ast w02-y\_true{)}^2$
• 则对w00的倒数为
  $2\ast x{0}^2\ast w00+2x0\ast (x1\ast w01+x2\ast w02-y\_true)$
  =$2\ast x0\ast (x0\ast w00+x1\ast w01+x2\ast w02-y\_true)$
  =$2\ast x0\ast (y\_pred-y\_true)$
• 同理w01,w02的倒数都可以求出
  分别为
  $2\ast x1\ast (y\_pred-y\_true)$
  $2\ast x2\ast (y\_pred-y\_true)$

直接求导与链式求导结果一样

3 结果展示

如下所示，数据在进行了两轮更新（共计20步）后，已从初始值0，0，0逐步收敛到真实值wTrue.
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4 x^2导数公式推导

• x^2倒数证明如下