1、拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的定义为：$$Laplacian=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$$

就是对原图像的 x方向 和 y方向，分别做 2阶偏导数，然后相加。

以上的拉普拉斯变换公式，应用在连续的函数中，我们应该都会求解的，但是在图像这个离散的二维环境中，怎么做拉普拉斯变化呢，具体怎么计算呢？我们往下看：

我们知道连续的一阶导函数公式如下：

$$f^{\prime }(x_0)=li{m}_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

那么，离散的一阶导函数公式为：

$$f^{\prime }(x_0)=li{m}_{\Delta x\to 1}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f(x_0+1)-f(x_0)$$

所以，图像在 $x,y$ 两个方向上的一阶偏导数分别为：
$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1,y)-f(x,y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=f(x,y+1)-f(x,y) \end{gathered}$$

然后，在一阶偏导函数的基础上，求二阶偏导函数。因为在求一阶偏导函数的时候，我们是通过 x+1 的形式来近似求 x点 的偏导的，直观上来讲，有点偏右了，所以在求二阶导函数的时候，我们让 $x=x-1$ 来近似 $x$ 点，更为恰当，所以，在 $x,y$ 方向上的二阶偏导数分别为：
$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& =\frac{\partial [f(x+1,y)-f(x,y)]}{\partial x}\\ & \\ & =\frac{\partial f(x+1,y)}{\partial x}-\frac{f(x,y)}{\partial x}\\ & \\ & =[f(x+1,y)-f(x)]-[f(x,y)-f(x-1,y)]\\ & \\ & =f(x-1,y)+f(x+1,y)-2f(x,y)\\ & \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& =\frac{\partial [f(x,y+1)-f(x,y)]}{\partial y}\\ & \\ & =\frac{\partial f(x,y+1)}{\partial y}-\frac{f(x,y)}{\partial y}\\ & \\ & =[f(x,y+1)-f(x,y)]-[f(x,y)-f(x,y-1)]\\ & \\ & =f(x,y-1)+f(x,y+1)-2f(x,y)\end{array}$$

再由拉普拉斯算子的定义，把上面的两个式子求和，就得到了：
$$Laplacian=f(x-1,y)+f(x+1,y)+f(x,y-1)+f(x,y+1)-4f(x,y)$$

上面的式子，用在图像里，可以看作是 上、下、左、右点的求和，减去中心点的4倍。所以，对图像做拉普拉斯变换，可以看作是 用原图像 与下面的模板做卷积运算，下面的这个模版（mask / filter）也就是拉普拉斯算子了。

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2、拉普拉斯算子（Laplacian 算子）

Laplacian 算子 （拉普拉斯算子）是一种二阶导数算子，其具有旋转不变性，可以满足不同方向的边缘锐化。

计算像素点P5的近似二阶导数值入下： $P{5}_{lap}=(P2+P4+P6+P8)-4\cdot P5$

上面介绍的默认的拉普拉斯算子 只考虑了上下左右的情况，并没有考虑斜对角线方向的情况，如果连斜对角线的情况也考虑进来的话，我们就有了 拓展版的拉普拉斯算子：

默认的拉普拉斯算子只在 90度方向上存在旋转不变性，而拓展模版则在45度方向上也具有旋转不变性。

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opencv 中 函数原型：

dst_img = cv2.Laplacian(src_img, ddepth, dx, dy, ksize, scale, delta)

参数：

• dst_img：结果图像
• src_img：原始图像
• ddepth：输出图像的深度。 默认是1，采用的是3x3的核。
• dx：x方向上的求导阶数，值为0时，表示在该方向上没有求导
• dy：y方向上的求导阶数，值为0时，表示在该方向上没有求导
• ksize：Sobel核的大小。该值为-1时，会使用Scharr算子进行计算。
• scale：代表计算导数值时的缩放因子。默认值是1，表示没有缩放。
• delta：代表加到目标图像上的亮度值。默认值是0。

举例：

import cv2

src_img = cv2.imread("sobel.bmp", 0)
laplacian = cv2.Laplacian(src_img, cv2.CV_64F)
laplacian = cv2.convertScaleAbs(laplacian)

cv2.imshow('src_img', src_img)
cv2.imshow('sobel_y', laplacian)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

输出为：