机器学习|n元正态分布概率密度及性质|10mins入门|概统学习笔记（十一）
n元正态分布概率密度定义设X′=(X1,X2,...,Xn)X'=(X_1,X_2,...,X_n)X′=(X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，若它的概率密度为f(x1,x2,...,xn)=1(2π)n/2∣C∣1/2exp{−12(X−μ)’C−1(X−μ)}f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}exp\...
n元正态分布概率密度
- 定义
设X′=(X1,X2,...,Xn)X'=(X_1,X_2,...,X_n)X′=(X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，若它的概率密度为
f(x1,x2,...,xn)=1(2π)n/2∣C∣1/2exp{−12(X−μ)’C−1(X−μ)} f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}exp\{-\frac{1}{2}(X-\mu)’C^{-1}(X-\mu)\} f(x1,x2,...,xn)=(2π)n/2∣C∣1/21exp{−21(X−μ)’C−1(X−μ)}
则称X服从n元正态分布，X和μ\muμ是n维列向量，X′X'X′表示X的转置。
其中C是(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)(X1,X2,...,Xn)的协方差矩阵,∣C∣|C|∣C∣是它的行列式，C−1C^{-1}C−1表示C的逆矩阵。
- 性质：
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若X=(X1,X2,...,Xn)X=(X_1,X_2,...,X_n)X=(X1,X2,...,Xn)服从n元正态分布，则对一切不全为0的实数a1，a2,...,ana_1，a_2,...,a_na1，a2,...,an,a1X1+a2X2+...+anXna_1X_1+a_2X_2+...+a_nX_na1X1+a2X2+...+anXn均服从正态分布。
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若X=(X1,X2,...,Xn)X=(X_1,X_2,...,X_n)X=(X1,X2,...,Xn)服从n元正态分布，Y1,Y2,...,YkY_1,Y_2,...,Y_kY1,Y2,...,Yk是Xj(j=1,2,...,n)X_j(j=1,2,...,n)Xj(j=1,2,...,n)的线性函数，则(Y1,Y2,...,Yk)(Y_1,Y_2,...,Y_k)(Y1,Y2,...,Yk)也服从多元正态分布
这一性质称为正态变量的线性变换不变性
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若X=(X1,X2,...,Xn)X=(X_1,X_2,...,X_n)X=(X1,X2,...,Xn)服从n元正态分布，则”X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn相互独立“等价于"”X1,X2,...,Xn”X_1,X_2,...,X_n”X1,X2,...,Xn“两两不相关
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