统计三大分布

1. ${\chi }^2$分布

• 本质：${\chi }^2$分布是由正态分布派生出来的一种分布

• 定义：设$X_1,X_2,...,X_n$相互独立，都服从正态分布$N(0,1)$，则称随机变量:
  $${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdot \cdot \cdot +X_n^2$$
  所服从的分布为自由度为n的${\chi }^2$分布。记为:${\chi }^2$~${\chi }^2(n)$

  ${\chi }^2$分布的密度函数为：
  $$f(x;n)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}exp(-\frac{x}{2})& x>0\\ 0& 其他\end{array}$$
  

  其中，伽马函数$\Gamma (x)$通过积分
  $$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }exp(-t)t^{x-1}dtx>0$$
  $\Gamma$函数的性质：
  $$\begin{gathered} \Gamma (a+1)=a\Gamma (a) \\ \Gamma (1)=\Gamma (0)=1 \\ \Gamma (n+1)=n! \\ \Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{(}\pi ) \end{gathered}$$

• ${\chi }^2$分布性质

  1. 设$X_1,X_2,...,X_n$相互独立，都服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

     ${\chi }^2=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$~${\chi }^2(n)$

  2. 设$X_1$_{$\chi^2(n_1)$,$X_2$}${\chi }^2(n_2)$，且$X_1$,$X_2$相互独立，则$X_1+X_2$~${\chi }^2(n_1+n_2)$

     这个性质叫${\chi }^2$分布的可加性

  3. 若$X$~${\chi }^2(n)$，则$E(X)=n,D(X)=2n$

     推论：应用中心极限定理得，若$X$~${\chi }^2(n)$，则当n充分大时，$\frac{X-n}{\sqrt{2n}}$的分布近似正态分布$N(0,1)$

  4. ${\chi }^2$分布的分位点：对于给定的正数$\alpha (0<\alpha <1),$称满足条件

  P{χ2>χα2(n)}=∫χα2(n)+∞f(y)dy=α P\{\chi^2>\chi_\alpha^2(n)\}=\int_{\chi_\alpha^2(n)}^{+\infty}f(y)dy=\alpha P{χ2>χα2​(n)}=∫χα2​(n)+∞​f(y)dy=α

  ​ 的点${\chi }_{\alpha }^2(n)$为${\chi }^2(n)$分布上的$\alpha$分位点，$\alpha$是概率

  

2. t分布（学生氏分布）

• 定义：设$X$_$N(0,1)$,$Y$${\chi }^2(n)$，且X与Y相互独立，则称变量$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$所服从的分布为自由度为n的t分布。记为$T$~$t(n)$.

  $T$的密度函数为：
  $$f(x;n)=\frac{\Gamma (n+1)/2}{\Gamma (n/2)\sqrt{n\pi }}(1+\frac{x^2}{n}{)}^{-\frac{n+1}{2}}$$
  具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为：
  $$E(T)=0;D(T)=\frac{n}{n-2},(n>2)$$
  t分布的密度函数关于x=0对称，且
  $$li{m}_{|x|\to \infty }f(x;n)=0$$
  当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。

​ 不难看出，当n充分大时，t分布近似$N(0,1)$分布。但对于较小的n，t分布与$N(0,1)$分布相差很大

• t分布的分位点

  对于给定的$\alpha (0<a<1)$，称满足条件
  P{t>tα(n)}=∫tα(n)+∞h(t)dt=α P\{t>t_\alpha(n)\}=\int_{t_\alpha(n)}^{+\infty}h(t)dt=\alpha P{t>tα​(n)}=∫tα​(n)+∞​h(t)dt=α
  的点$t_{\alpha }(n)$为$t(n)$分布的上$\alpha$分位点，$\alpha$是概率。

由t分布上$\alpha$分位点的定义及$h(t)$图像的对称性可知
$$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$$

3.F分布

• 定义：设$X$_{$\chi^2(n_1)$,$Y$}${\chi }^2(n_2)$，X与Y相互独立，则称统计量$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$，服从自由度为$n_1$及$n_2$的F分布，$n_1$称为第一自由度，$n_2$称为第二自由度，记作$F$~$F(n_1,n_2)$

  由定义可见，$\frac{1}{F}=\frac{Y/n_2}{X/n_1}$~$F(n_2,n_1)$

  若X~$F(n_1,n_2)$，X的概率函数为
  $$f(x;n_1,n_2)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (\frac{n_1+n_2}{2})}{\Gamma (\frac{n_1}{2})\Gamma (\frac{n_2}{2})}(\frac{n_1}{n_2})(\frac{n_1}{n_2}x{)}^{\frac{n_1}{2}-1}(1+\frac{n_1}{n_2}x{)}^{-\frac{n_1+n_2}{2}}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$
  X的数学期望为
  $$E(X)=\frac{n_2}{n_2-2}若n_2>2$$
  即它的数学期望并不依赖于第一自由度$n_1$.

  

  若随机变量X服从分布$F(n,n)$，则

P{X≤1}=P{X≥1}=0.5 P\{X\leq1\}=P\{X\geq 1\}=0.5 P{X≤1}=P{X≥1}=0.5

• F分布的分位点

  对于给定的$\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件
  P{F>Fα(n1,n2)}=∫Fα(n1,n2)+∞h(t)dt=α P\{F>F_\alpha(n_1,n_2)\}=\int_{F_{\alpha}(n_1,n_2)}^{+\infty}h(t)dt=\alpha P{F>Fα​(n1​,n2​)}=∫Fα​(n1​,n2​)+∞​h(t)dt=α
  的点$F_{\alpha }(n_1,n_2)$为$F(n_1,n_2)$分布的上$\alpha$分位点，$\alpha$是概率

关于F分布的上$\alpha$分位点的性质：
$$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$$