晶体三极管的H模型与Π模型

• BJT内部交流（动态）电阻电容示意图

• 图中参数说明：
  • 由于管子内集电区跟发射区的掺杂浓度高，r_c，r_e非常小，可忽略不计，这样e’与e点可近似相等，c’与c也可近似相等。
  • 基区体电阻r_bb’
    • 图中b’点是为分析方便而虚拟的基区内的等效基极。不同类型的BJT，r_bb’的值相差很大，器件手册中常给出，在几十到几百欧之间。
  • 电阻r_b’e
    • 发射结正偏电阻r_e折算到基极回路的等效电阻，即$$r_{b^{{}^{\prime }}e}=(1+\beta )r_e=(1+\beta )\frac{V_T}{I_{EQ}}$$
  • 电容C_b’e’
    • 发射结电容，由于BJT在放大区时发射结正偏，所以C_b’e主要是扩散电容，数值较大，对于小功率管，C_b’e在几十到几百皮法范围。
  • 集电结电阻r_b’c
    • 在放大区内集电结处于反偏状态，因此r_b’c的值很大，一般在100kΩ~10MΩ范围。
  • 电容C_b’c’
    • 主要是势垒电容，数值较小，在2~10pF范围内。
  • 受控电流源
    • 由于结电容影响，BJT中受控电流源不再受控于基极电流，因此不能βi_b表示。BJT工作在放大区，三个电极的电流实质上均受控于发射结上所加的电压，因此在高频小信号模型中，受控电流源该受v_b’e控制的电流源。g_m表明发射结电压对受控电流i_c的控制能力，定义为：$$g_m=\frac{\partial i_c}{\partial v_{B^{\prime }E}}\mid {}_{V_{CE}}=\frac{\Delta i_c}{\Delta v_{B^{\prime }E}}\mid {}_{V_{CE}}$$

H参数等效模型

• 如下图，我们已知晶体管的H参数等效模型，注意r_ce相较于负载R_L大，因此在进行H参数等效模型对交流态进行分析时，忽略不计。在H参数等效模型下，我们忽略的极间电容的影响，因此此模型适合中低频段的分析，无法分析高频。
  

• 由于r_ce相较于负载R_L较大，我们分析时常常把r_ce等效为开路。
  

π参数等效模型

• 在此，对H参数等效模型进行分解，可得出如下的完整模型（接近物理模型，全频率段都适用）：
  

• 现在，我们开始简化完整模型，去掉一些参数，r_b’c 反偏电阻，锗管100kΩ，硅管500kΩ，较大，中可相当于断路，且r_ce如同H参数等效模型中一样，开路。

• 对C_μ进行戴维南等效，也称为C_μ的单向化等效，字面意思：从输入端看进去C_μ相当于等效电容C_μ’，从输出看进去相当于C_μ’’
  

• 求解C_μ’ $$\dot{I_{C_{\mu }}}=\frac{\dot{U_{b^{\prime }e}}-\dot{U_{ce}}}{X_{C_{\mu }}}=\frac{\dot{U_{b^{\prime }e}}-\dot{U_{ce}}}{\frac{1}{jw{C}_{\mu }}}$$ $$X_{C_{\mu }^{\prime }}=\frac{1}{jw{C}_{\mu }^{\prime }}=\frac{U_{b^{\prime }e}}{I_{C_{\mu }}}$$ 令 $$\dot{K}=\frac{\dot{U_{ce}}}{\dot{U_{b^{\prime }e}}}$$ 可得 $$C_{\mu }^{\prime }=(1-\dot{K})C_{\mu }$$ 可见，C’_μ是变化的，且C’_μ>C_μ，因为u_ce是负的，即k是负的。

• 求解C’'_μ

  • 推导公式
  • C’'_μ的容抗非常大。

• C_π与C’_μ叠加的电路图下：$$C^{{}^{\prime }}{}_{\Pi }=C_{\Pi }+C_{\mu }^{{}^{\prime }}$$
  

• 一般在数据手册中，我们可查到的参数有r_bb’、C_ob=C_μ、f_T(特征频率)，显然我们需要求解C_π、g_m、r_b’e

求解g_m、r_b’e

• 首先求解r_b’e，前面已经给出了等式，设中低频段放大倍数为β₀：$$r_{b^{{}^{\prime }}e}=(1+{\beta }_0)r_e=(1+{\beta }_0)\frac{U_T}{I_{EQ}}$$
• 利用H参数与Π参数模型在中低频段等效这一特性，我们可知：$$\frac{\dot{I_C}}{\dot{I_B}}=\frac{g_m\dot{U_{b^{\prime }e}}}{U_{b^{\prime }e}/r_{b^{\prime }e}}=g_m{r}_{b^{\prime }e}={\beta }_0$$ 得 $$g_m=\frac{{\beta }_0}{r_{b^{\prime }e}}=\frac{{\beta }_0}{(1+{\beta }_0)\frac{U_T}{I_{EQ}}}$$

求解C_π且β的频响

• 定义：$$\dot{\beta }=\frac{\dot{I_C}}{\dot{I_B}}{\mid }_{U_{CE}}$$
• 在高频等效电路模型中，CE之间无电压变化，可以理解为很大的C^’'_μ短路了：
  
• 可得：$$\dot{\beta }=\frac{\dot{I_C}}{\dot{I_B}}=\frac{g_m\dot{U_{b^{\prime }e}}}{\frac{\dot{U_{b^{\prime }e}}}{r_{b^{\prime }e}}+\frac{\dot{U_{b^{\prime }e}}}{X_{C_{\pi }^{{}^{\prime }}}}}=\frac{g_m}{(\frac{1}{r_{b^{\prime }e}}+jw{C}_{\pi }^{{}^{\prime }})}=\frac{g_m{r}_{b^{\prime }e}}{1+jw{r}_{b^{\prime }e}{C}_{\pi }^{{}^{\prime }}}=\frac{{\beta }_0}{1+jw{r}_{b^{\prime }e}{C}_{\pi }^{{}^{\prime }}}$$
• 显然这是一个低通滤波器的等式，令$$f_{\beta }=\frac{1}{2\pi r_{b^{\prime }e}{C}_{\pi }^{{}^{\prime }}}$$ 原式等于： $$\dot{\beta }=\frac{{\beta }_0}{1+j(\frac{f}{f_{\beta }})}$$
• 波特图
  
• 当f=f_T时，|β|=1，可得$$\frac{f_T}{f_{\beta }}\approx {\beta }_0$$ 即 $$f_{\beta }=\frac{f_T}{{\beta }_0}=\frac{1}{2\pi r_{b^{\prime }e}{C}_{\pi }^{{}^{\prime }}}$$ 得 $$C_{\pi }^{{}^{\prime }}=\frac{{\beta }_0}{2\pi r_{b^{\prime }e}{f}_T}$$
• 前面已知：$$C^{{}^{\prime }}{}_{\pi }=C_{\pi }+C_{\mu }^{{}^{\prime }}$$ 而 $$C_{\mu }^{\prime }=(1-\dot{K})C_{\mu }$$ $$\dot{K}=\frac{\dot{U_{ce}}}{\dot{U_{b^{\prime }e}}}$$ 此时 $$\dot{U_{b^{\prime }e}}=0(短路)$$因此$$C^{{}^{\prime }}{}_{\pi }=C_{\pi }+C_{\mu }$$
• C’_π已知（上式求解），C_μ已知（手册给出），即可求出C_π。