参考资料：同济大学高等数学第七版上册、B站轩兔up视频。

一、概念

1、连续
函数$f(x)$定义在区间$I$上，对于区间$I$上的任意一点$x_0$，对任意给定的正数$ϵ$，总存在正数$\delta$，使得区间$I$中的点$x$，当$|x-x_0|＜\delta$时，有：$|f(x)-f(x_0)|＜ϵ$。

2、一致连续
函数$f(x)$定义在区间$I$上，对任意给定的正数$ϵ$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1,x_2$，当$|x_1-x_2|＜\delta$时，有：$|f(x_1)-f(x_2)|＜ϵ$。

• 通俗解释：
  函数在区间内一致连续，则对任意给定的一个正数$ϵ$，总存在一个距离$\delta$，对于区间内的任意两个数$x_1,x_2$，只要它们足够近$|x_1-x_2|＜\delta$，则其对应的函数值也足够近$|f(x_1)-f(x_2)|＜ϵ$。

二、连续与一致连续

1、

一致连续性表示，不论在区间$I$中的任何部分，只要两个自变量的数值接近到一定程度，就能使它们对应的函数值达到所指定的接近程度。

2、一些例子：

1. $f(x)=x$：令$\delta =ϵ$时，$f(x)$在定义域上连续且一致连续。
2. $f(x)=\sqrt{x}$：令$\delta ={ϵ}^2$时，$f(x)$在定义域上连续且一致连续。
3. $f(x)=1/x$：$f(x)$在$(0,+\infty )$内连续但不一致连续；$f(x)$在$[a,+\infty )$（$其中，a>0$）内连续且一致连续。

3、连续和一致连续的几何意义：

• 连续：图像可一笔画画完。
• 一致连续：图像可一笔画画完，且图像的变化速度不能太快/图像不能太陡峭。
  $$\begin{gathered} f(x)连续\Rightarrow f(x)一致连续 \\ 可导函数f(x)：导数有界\Rightarrow 一致连续 \end{gathered}$$