矩阵的初等变换和行列式的初等变换

在线性代数当中，初等变换可谓算得上最重要的一种运算了，然而矩阵的初等变换和行列式的初等变换却常常容易混淆，本文的目的是把这几个概念厘清：矩阵、行列式、初等变换、初等矩阵、矩阵的初等变换、行列式的初等变换。

一、矩阵和行列式

• 矩阵是一张数表，通常用中括号包起来：

$${\mathbf{A}}_{3\times 4}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 2& 0& 2\\ 0& 0& 3& 3\end{array}\right]$$

上面是一个3行4列的矩阵。

• 行列式是一个数，通过对方阵进行运算得到的数：

$$det\mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|=2$$

矩阵的行数和列数可以不相等，而行列式的行数和列数必须相等。

二、初等变换和初等矩阵

所谓初等变换就是矩阵最基本的三种变换，初等矩阵是这三种变换对应的矩阵表示。

初等变换分为行初等变换和列初等变换。二者的区别在于放在被运算的矩阵$\mathbf{A}$的左边还是右边。

三种初等变换，以及对应的初等矩阵：

1. 交换：将i行和j行交换，对应的初等矩阵就是将单位矩阵的i行和j行交换
   $${\mathbf{E}}_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

2. 倍乘：将i行的每个数乘以c，
   $${\mathbf{E}}_i(c)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

3. 乘加：将i行的每个数乘以c再加到j行，
   $${\mathbf{E}}_{ij}(c)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& c& 1\end{array}\right]$$

现在来演示一下：
$${\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 2& 0& 2\\ 0& 0& 3& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 3& 3\\ 0& 2& 0& 2\end{array}\right]$$
如果初等矩阵放在A的右边就是列变换。

三、矩阵的初等变换和行列式的初等变换

1. 矩阵的初等变换是保持等价关系

2. 行列式的初等变换是保持等值关系

矩阵的初等变换方法在上文已经说清楚了。

行列式的初等变换规则：

1. 交换：$det{\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{A}=-det\mathbf{A}$
2. 倍乘：$det{\mathbf{E}}_i(c)\mathbf{A}=cdet\mathbf{A}$
3. 乘加：$det{\mathbf{E}}_{ij}(c)\mathbf{A}=det\mathbf{A}$

四、数乘和倍乘

• 对于矩阵而言：

数乘：$k\mathbf{A}$ ，即将$\mathbf{A}$中的每一个元素都乘以k

倍乘：${\mathbf{E}}_i(c)\mathbf{A}$，即将$\mathbf{A}$的第i行的每一个元素乘以c

• 对于行列式而言：

数乘：$det(k{A}_{n\times n})=k^{n}det(A)$

倍乘：$det({\mathbf{E}}_i(c)A_{n\times n})=kdet(A)$