这是我之前在剑桥大学上的一节研究生应数选修课 Image Reconstruction，之前没怎么听懂，所以这段时间想把它补起来。
这节课老师没有明确的讲义，所以我就照记着的一些书的顺序，把它复习了。
整堂课只有我一个人上 QAQ，所以应该算是在数学系里比较小众的方向吧。
因此这篇笔记 基本上是为了 我自己以后查资料或公式好找一点。
笔记部分摘自 Mathematical Methods in Image Reconstruction. F.Natterer and F.Wuebbeling.

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引言

图像重构 Intro

Radon Transform 拉东变换 $\mathcal{R}f$

• 拉东变换是一个积分变换

• 先它将定义在二维平面上的一个函数 $f(x_1,x_2)$ 沿着平面上的任意一条直线做线积分，相当于对函数 $f(x_1,x_2)$ 做 CT扫描

• 令 X射线 在 $x$ 点 线性衰减后 为$f(x)$。 那么 X射线光束 $L$ 经过的部分成像就是 $g(L)={\int }_{L}f(x)dx$ 。

• 如果我们用 $s$ （原点到射线的距离）与 $\theta$ （距离的夹角）表示射线 $L$， 如图：

• 可得这条直线为 L ( θ , s ) = { x ∈ R 2 : x ⋅ θ = s } ,    θ ∈ S 1 ,    s ∈ R 1 L(\theta,s) = \{x\in \R^2: x\cdot \theta = s\},\; \theta \in S^1, \; s\in \R^1 L(θ,s)={x∈R2:x⋅θ=s},θ∈S1,s∈R1

• 可得如下方程：

$$g(\theta ,s)={\int }_{x\cdot \theta =s}f(x)dx=(\mathcal{R}f)(\theta ,s)$$

• 用python把它表示出来：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 为了之后扩展到 n 维 这里用 x_1 x_2 表示  
x1 = np.arange(-10,10.01,.01) # x_1 可以理解为 二维(x,y) 坐标轴的x
x2 = np.arange(-10,10.01,.01) # x_2 可以理解为 二维(x,y) 坐标轴的y
xv = np.meshgrid(x1,x2) # 网格化
degree = 45 # theta 角度  
theta = degree/180 *np.pi
s = 2. # s 长度
Lv = abs(xv[0]*np.cos(theta) + xv[1]*np.sin(theta)-s) # x1*cos(theta) + x2*cos(theta) - s = 0
L = np.max((Lv<0.01)*xv[1],axis=0)+np.min((Lv<0.01)*xv[1],axis=0) # 筛选出 满足条件的值
# L.nonzero()  L 的非零值坐标  
plt.plot(x1[L.nonzero()],L[L.nonzero()],'blue')
plt.show()

• 我还做了变量为 $s$ 和 $\theta$ 的动图：

• 接下来，把它拓展到更高维度 n 维。
• 构筑 n 维超平面 H ( θ , s ) = { x ∈ R n : x ⋅ θ = s } ,    θ ∈ S n − 1  (unit sphere)  ,    s ∈ R 1 H(\theta,s) = \{x\in \R^n: x\cdot \theta = s\},\; \theta \in S^{n-1} \text{ (unit sphere) }, \; s\in \R^1 H(θ,s)={x∈Rn:x⋅θ=s},θ∈Sn−1 (unit sphere) ,s∈R1
• 超平面垂直于 $\theta$ 距离为 $s$
• 同时 $H(-\theta ,-s)=H(\theta ,s)$ 为 偶函数
• 可定义

$$(\mathcal{R}f)(\theta ,s)={\int }_{x\cdot \theta =s}f(x)dx={\int }_{H(\theta ,s)}f(x)dx$$

• $\mathcal{R}f$ 函数在 单位圆柱 unit sylinder 上

C n = { ( θ , s ) : θ ∈ S n − 1 ,    s ∈ R 1 } {\color{red}C^n} = \{(\theta,s): \theta \in S^{n-1} ,\; s\in \R^1\} Cn={(θ,s):θ∈Sn−1,s∈R1}

• 因为 $H(-\theta ,-s)=H(\theta ,s)$ ， 所以 $(\mathcal{R}f)(-\theta ,-s)=\mathcal{R}f(\theta ,s)$ 为偶函数

• 由于 $s-x\cdot \theta =0$ 变换可得：

$$(\mathcal{R}f)(\theta ,s)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\delta (s-x\cdot \theta )f(x)dx$$

• θ ⊥ = { x ∈ R n : x ⋅ θ = 0 } \theta^\perp = \{x\in\R^n: x\cdot \theta = 0\} θ⊥={x∈Rn:x⋅θ=0} 正交 $\theta$ 的子空间

$$(\mathcal{R}f)(\theta ,s)={\int }_{{\theta }^{\perp }}f(s\theta +y)dy$$

• 由于 $f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 在速降函数空间内（Schwartz space）
• 那么 $\mathcal{R}f\in \mathcal{S}(C^n)$
• $\mathcal{S}(C^n)$ 为

$$\mathcal{S}(C^n)=\{g\in {\mathcal{C}}^{\infty }(C^n):s^l\frac{{\partial }^k}{\partial s^k}g(\theta ,s)\text{ bounded },l,k=0,1,\cdots \}$$

• ${\mathcal{C}}^{\infty }(C^n)$ 是所有从 $C^n$ 射到 $\mathcal{C}$ 的光滑函数 (无穷阶可导的函数)

• 卷积运算

$$(g\star h)(\theta ,s)={\int }_{{\mathbb{R}}^1}g(\theta ,s-t)h(\theta ,t)dt$$

傅里叶变换 $\mathcal{F}$

$$\mathcal{F}(g(\theta ,s))=(2\pi {)}^{-1/2}{\int }_{{\mathbb{R}}^1}g(\theta ,s)e^{-is\sigma }ds$$

• 当 $f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n),\theta \in S^{n-1}\text{ (unit sphere) },\sigma \in {\mathbb{R}}^1$

$$\mathcal{F}[(\mathcal{R}f)(\theta ,\sigma ){]}_{C^n}=(2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}\mathcal{F}[f(\sigma \theta ){]}_{{\mathbb{R}}^n}$$

• 当 $f,g\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$

$$\underset{C^n}{\mathcal{R}f\star \mathcal{R}g}=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{R}(f\star g)}$$

BackProjection operator 后向投影 算子 ${\mathcal{R}}^{\ast }$

$$({\mathcal{R}}^{\ast }g)(x)={\int }_{S^{n-1}}g(\theta ,x\cdot \theta )d\theta ,g\in \mathcal{S}(C^n)$$

• 因此 对于 $g=\mathcal{R}f,({\mathcal{R}}^{\ast }g)(x)$ 是 所有超平面 经过 $x$, $f$ 的积分 的均值。

• 在数学中 可以说 ${\mathcal{R}}^{\ast }$ 是 $\mathcal{R}$ 的共轭

• 对于 $g\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^1),f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$

$${\int }_{{\mathbb{R}}^1}g(s)(\mathcal{R}f)(\theta ,s)ds={\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(x\cdot \theta )f(x)dx$$

• 对于 $g\in \mathcal{S}(C^n),f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$

$${\int }_{S^{n-1}}{\int }_{{\mathbb{R}}^1}g\mathcal{R}fd\theta ds={\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\mathcal{R}}^{\ast }g)f(x)d(x)dx$$

• 当 $f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 和 $g\in \mathcal{S}(C^n)$

$$({\mathcal{R}}^{\ast }g)\star f={\mathcal{R}}^{\ast }(g\star \mathcal{R}f)$$

• 当 $g\in \mathcal{S}(C^n)$ 为偶 (例 $g(\theta ,s)=g(-\theta ,-s)$ )

$$\mathcal{F}[({\mathcal{R}}^{\ast }g)(\xi )]=2(2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}|\xi {|}^{1-n}\mathcal{F}[g(\frac{\xi }{|\xi |},|\xi |)]$$

• 通过 Riesz potential 里斯位势 在 $C^n$

$$\mathcal{F}[({\mathcal{I}}^{\alpha }g)(\theta ,\sigma )]=|\sigma {|}^{-\alpha }\mathcal{F}[g(\theta ,\sigma )],\alpha <1$$