曲线$y=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$的一个拐点是()
A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
解析：此题选C，设$g(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-4{)}^4$，则$y=(x-3{)}^{3}g(x)$，于是
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =3(x-3{)}^{2}g(x)+(x-3{)}^3{g}^{\prime }(x)\\ y^{\prime \prime }& =6(x-3)g(x)+3(x-3{)}^2{g}^{\prime }(x)+3(x-3{)}^2{g}^{\prime }(x)+(x-3{)}^3{g}^{\prime \prime }(x)\\ & =(x-3)\cdot \left[6g(x)+6(x-3)g^{\prime }(x)+(x-3{)}^2{g}^{\prime \prime }(x)\right]\end{array}$$
再令$h(x)=6g(x)+6(x-3)g^{\prime }(x)+(x-3{)}^2{g}^{\prime \prime }(x)$，由$h(3)=6g(3)=12>0$以及极限的保号性可知，存在$\delta >0$，使得当$3-\delta <x<3+\delta$时，有$h(x)>0$，这样即得（3，0）是拐点。

总结：对于曲线
$$f(x)={\left(x-a_1\right)}^{k_1}{\left(x-a_2\right)}^{k_2}\cdots {\left(x-a_n\right)}^{k_n},k_i\in Z^{+},a_1<a_2<\cdots <a_n$$
下列结论成立
(i)当$k_i$为大于或等于3的奇数时，(a_i,0)为其拐点；
(i)当$k_i$为大于3的偶数时，(a_i,0)不为其拐点；
(i)当$k_i=1$时，(a_i,0)不为其拐点；
(i)当$k_i=2$时，(a_i,0)不为其拐点。
证明见论文《关于曲线$f(x)={\left(x-a_1\right)}^{k_1}{\left(x-a_2\right)}^{k_2}\cdots {\left(x-a_n\right)}^{k_n}$拐点的探讨》