问题描述

设总体 $X\sim U[0,\theta ]$ , 其中 $\theta >0$ , $X_1,X_2，\cdots ,X_n$ 为其样本,

(1) 求 $\theta$ 的矩估计量 $\widehat{{\theta }_1}$ 和最大似然估计量 $\widehat{{\theta }_2}$

(2) 求 $E(\widehat{{\theta }_1})$ 和 $E(\widehat{{\theta }_2})$

题解

解析

关于 $F_{\widehat{{\theta }_2}}(x)=[F(x){]}^n$ 怎么得来 ?

首先 , Fθ2^(x)=P{θ2^≤x}=P{max{X1,X2,⋯ ,Xn}≤x}=λF_{\hat{\theta_2}}(x)=P\{\hat{\theta_2}\leq x\}=P\{max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\leq x\} = \lambdaFθ2​^​​(x)=P{θ2​^​≤x}=P{max{X1​,X2​,⋯,Xn​}≤x}=λ

$\because$ 最大值比 $x$ 小 , 所以所有 $X_i$ 都比 $x$ 小, 又因为 $X_i$ 之间相互独立,

$\therefore$ λ=P{X1<=x}×P{X2<=x}×⋯×P{Xn<=x}=[F(x)]n\lambda = P\{ X_1<=x \}\times P\{ X_2<=x \}\times\cdots \times P\{ X_n<=x \}=[F(x)]^nλ=P{X1​<=x}×P{X2​<=x}×⋯×P{Xn​<=x}=[F(x)]n