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摘要： 本文讲解了常见单调数列五个模型以及在交错级数中的应用，其中模型4的单调性并不是很容易证明，例6的敛散性证明需要用到拉贝模型。【岩宝数学考研】

常见单调数列模型

模型1

当时，单调递减趋于1.

模型2

单调递增趋于。单调递减趋于。

模型3

若

且【岩宝数学考研】

则可得

单调递减趋于0。

模型4(01湖师大最后一题)

从某一项开始单调递减趋于0.分析：
由于【岩宝数学考研】

则可得与不在一个数量级上，所以从长远来看，分子并不能影响到数列的单调性，即可猜得单调递减且趋于0，关于单调递减的证明并不是很好证明，下面我们完整写一下步骤。证明：

又因为【岩宝数学考研】

则由数列极限保号性可得存在，当时，有

此时可得

此时可得【岩宝数学考研】

又【岩宝数学考研】

则由数列极限保号性可得存在，当时，有

此时可得【岩宝数学考研】

则可得数列是单调递减数列，又

综上即得证。

模型5

若，且

则可得单调递减趋于0。分析：
由数列极限保号性可得存在，当时，有

则可得

即

可得数列单调递减。
又由数列极限保号性可得存在，当时，有

可得【岩宝数学考研】

可得

可得【岩宝数学考研】

即【岩宝数学考研】

又【岩宝数学考研】

可得

可得【岩宝数学考研】

又

则【岩宝数学考研】

由极限保不等式性可得

即得证。

莱布尼茨判别法

若交错级数

满足下列两个条件：
1.数列单调递减；
2.
则可得收敛。

拉贝模型

设

为正项级数，如果

则可得级数

收敛。

交错级数敛散性判别方法总结I:莱布尼茨和拉贝模型

【例1】.(2004东南大学)
判断级数的敛散性。

分析：
由于【岩宝数学考研】

且【岩宝数学考研】

则可得级数

敛散性与

敛散性相同。又

发散，则可得级数

发散。又因为由模型1可得

则由莱布尼茨判别法可得此级数条件收敛。
【例2】.(东南大学2007)
判别下列级数敛散性。

分析：
先判断

的敛散性。由岩宝数学考研公众号数学分析第12章数项级数--正项级数敛散性判别方法总结I例11可得，此时级数发散。
又由模型2可得

单调递减趋于0，则由莱布尼茨判别法可得此时级数条件收敛。
【例3】.(2008西安电子科技大学、2005上海理工大学、2007暨南大学、2010安徽师范大学)
设

且

证明：级数

是收敛的。分析：
由模型3即可得。【岩宝数学考研】
【例4】.
判断下列级数的敛散性。

分析：
先研究级数

的敛散性。由岩宝数学考研公众号数学分析第12章数项级数--正项级数敛散性判别方法总结II例1可得，此时级数与

敛散性相同。则可得
当时，级数收敛。
当时，级数发散。
下面研究当时，级数

的敛散性问题，由模型4和莱布尼茨判别法可得此时级数收敛。
当时，可得

此时级数发散。
综上可得：时，原级数绝对收敛。时，原级数条件收敛。时，级数发散。
【例5】.(2000北京交通大学、2001上海师大、2012中山大学()、2007北京科技大学())
讨论下列级数的敛散性。

分析：
先讨论级数

的敛散性。
记【岩宝数学考研】

可得

当时，级数

绝对收敛。
当时，级数

发散。【岩宝数学考研】
当时，

则可得级数

发散。
【例6】(2020武汉大学)
讨论级数

的敛散性。分析：
此题和例5稍有区别。
先讨论级数

的敛散性。
记【岩宝数学考研】

可得

当时，可得级数

发散。
当时，可得级数

绝对收敛。
当时，由岩宝数学考研公众号数学分析第12章数项级数--正项级数敛散性判别方法总结III例8结合拉贝模型可得，级数

发散。
但级数【岩宝数学考研】

条件收敛。
综上可得：
当时级数绝对收敛。
当时级数发散。
当时级数条件收敛。
当时级数发散。

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